Phương Pháp Tìm Thiết Diện Của Hình Chóp Và Các Ví Dụ Minh Họa Chi Tiết

Giới thiệu

Trong chương trình Toán học lớp 11, việc xác định thiết diện của một hình chóp với một mặt phẳng là một chủ đề quan trọng, đòi hỏi sự hiểu biết sâu sắc về hình học không gian và khả năng tư duy logic. Bài viết này cung cấp phương pháp giải chi tiết cùng các ví dụ minh họa sinh động, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết các bài tập liên quan. Chúng tôi tập trung vào việc tối ưu hóa nội dung để mang đến giá trị thông tin cao nhất cho độc giả, đồng thời đảm bảo khả năng hiển thị tốt trên các công cụ tìm kiếm.

A. Phương pháp tìm thiết diện của hình chóp

Thiết diện của hình chóp và mặt phẳng (P) được định nghĩa là đa giác giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Để xác định thiết diện này, chúng ta tuân theo các bước có hệ thống:

1. Xác định giao tuyến đầu tiên: Bắt đầu bằng việc tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với một mặt bất kỳ của hình chóp. Điểm xuất phát thường là một điểm chung đã cho sẵn hoặc một điểm chung được xác định trên một mặt trung gian.
2. Mở rộng giao tuyến và tìm điểm mới: Từ giao tuyến đã xác định, chúng ta tiếp tục tìm các giao điểm của nó với các cạnh của mặt hình chóp. Mỗi giao điểm mới này sẽ là điểm chung giữa mặt phẳng (P) và một mặt khác của hình chóp, từ đó xác định các giao tuyến mới.
3. Hoàn thành thiết diện: Lặp lại quá trình trên cho đến khi tất cả các giao tuyến tạo thành một đa giác khép kín. Đa giác này chính là thiết diện cần tìm.

B. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Xác định loại thiết diện có thể có

Đề bài: Cho ABCD là một tứ giác lồi và điểm S không thuộc mặt phẳng (ABCD). Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp S.ABCD?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D. Lục giác

Lời giải:
Hình chóp S.ABCD có 5 mặt (1 đáy và 4 mặt bên). Thiết diện tạo bởi một mặt phẳng cắt hình chóp có thể có tối đa 5 cạnh. Do đó, thiết diện không thể là lục giác.
Đáp án: D

Ví dụ 2: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua điểm trên cạnh bên

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M nằm trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình bình hành
D. Ngũ giác

Lời giải:

• Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O là giao điểm của AC và BD.
• Trong mặt phẳng (SBD), gọi H là giao điểm của SO và DM.
• Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AH và SC.

Ta tìm giao tuyến của mặt phẳng (ADM) với các mặt của hình chóp:

• (ADM) ∩ (SAD) = AD
• (ADM) ∩ (SDC) = DK
• (ADM) ∩ (SCB) = KM
• (ADM) ∩ (SAB) = AM

Như vậy, thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (ADM) là tứ giác ADKM.
Đáp án: B

Ví dụ 3: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua điểm và hai đỉnh đáy

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành

Lời giải:

Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (PAB)* Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD (vì ABCD là hình thang).
* Trong mặt phẳng (SCD), gọi Q là giao điểm của EP và SC.

Ta có E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP), suy ra Q ∈ (ABP). Do đó, Q = SC ∩ (ABP).

Giao tuyến của mặt phẳng (PAB) với các mặt của hình chóp:

• (PAB) ∩ (SAB) = AB
• (PAB) ∩ (SBC) = BQ
• (PAB) ∩ (SCD) = QP
• (PAB) ∩ (SAD) = PA

Thiết diện là tứ giác ABQP.
Đáp án: B

Ví dụ 4: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh đáy và một điểm trên mặt bên

Đề bài: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là hình gì?
A. Ngũ giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành

Lời giải:

Thiết diện hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng (MNP)* Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F và G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD.
* Trong mặt phẳng (SAD), gọi H là giao điểm của FP và SA.
* Trong mặt phẳng (SCD), gọi K là giao điểm của GP và SC.

Ta có F ∈ MN ⇒ F ∈ (MNP). Do đó FP ⊂ (MNP), suy ra H ∈ (MNP). Tương tự, K = SC ∩ (MNP).

Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt của hình chóp:

• (MNP) ∩ (SAB) = HM
• (MNP) ∩ (ABCD) = MN
• (MNP) ∩ (SBC) = NK
• (MNP) ∩ (SCD) = KP
• (MNP) ∩ (SAD) = PH

Vậy, thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (MNP) là ngũ giác HMNKP.
Đáp án: A

Ví dụ 5: Tìm thiết diện của tứ diện với mặt phẳng đi qua trung điểm cạnh, trung điểm cạnh và một điểm ngoài cạnh

Đề bài: Cho tứ diện ABCD. Gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là:
A. Tứ giác HKMN với N thuộc AD
B. Hình thang HKMN với N thuộc AD và HK // MN
C. Tam giác HKL với L là giao điểm của KM và BD
D. Tam giác HKT với T là giao điểm của HM và AD

Lời giải:

Thiết diện tứ diện ABCD cắt bởi mặt phẳng (HKM)* Trong mặt phẳng (BCD), do KM không song song với CD nên gọi L là giao điểm của KM và BD.
* Ta có:
* (HKM) ∩ (ABC) = HK
* (HKM) ∩ (BCD) = KL
* (HKM) ∩ (ABD) = HL

Vậy, thiết diện là tam giác HKL.
Đáp án: C

Ví dụ 6: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua điểm trên đáy, điểm trên đáy và điểm trên cạnh bên

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt là ba điểm lấy trên AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI) là gì?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D. Tam giác hoặc tứ giác

Lời giải:

• Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J = MN ∩ AB và K = MN ∩ BC.
• Trong mặt phẳng (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB.
• Trong mặt phẳng (SAB), gọi R = KQ ∩ SA.
• Trong mặt phẳng (SBC), gọi P = QH ∩ SC.

Thiết diện là ngũ giác MNPQR.
Đáp án: C

Ví dụ 7: Xác định loại thiết diện với mặt phẳng cắt các cạnh bên của hình chóp

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD hình thang; đáy không là hình thang. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’) là?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D. Tứ giác hoặc ngũ giác.

Lời giải:

• Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD.
• Trong mặt phẳng (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO.
• Trong mặt phẳng (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD.

Có hai trường hợp xảy ra:

• Nếu D’ thuộc cạnh SD, thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’.
• Nếu D’ không thuộc cạnh SD, ta cần tìm thêm các giao điểm. Gọi E = CD ∩ C’D’ và F = AD ∩ A’D’. Khi đó, thiết diện là ngũ giác A’B’C’EF.
  Đáp án: D

Ví dụ 8: Tính diện tích thiết diện của tứ diện đều

Đề bài: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A. $frac{a^2sqrt{3}}{2}$
B. $frac{a^2sqrt{3}}{4}$
C. $frac{a^2sqrt{2}}{2}$
D. $frac{a^2}{2}$

Lời giải:

Thiết diện tam giác MCD* Gọi M và N lần lượt là trung điểm của AB và BC.
* Do G là trọng tâm tam giác ABC nên G là giao điểm của AN và CM.
* Mặt phẳng (GCD) cắt đường thẳng AB tại điểm M.
* Do đó, tam giác MCD là thiết diện của mặt phẳng (GCD) và tứ diện ABCD.
* Tam giác ABD đều, có M là trung điểm AB, suy ra MD = $frac{asqrt{3}}{2}$.
* Tam giác ABC đều, có M là trung điểm AB, suy ra MC = $frac{asqrt{3}}{2}$.
* Tam giác MCD là tam giác cân tại M. Gọi H là trung điểm của CD, MH ⊥ CD.
* Diện tích tam giác MCD là $S_{MCD} = frac{1}{2} MH cdot CD$.
* $MH = sqrt{MC^2 – CH^2} = sqrt{(frac{asqrt{3}}{2})^2 – (frac{a}{2})^2} = sqrt{frac{3a^2}{4} – frac{a^2}{4}} = sqrt{frac{2a^2}{4}} = frac{asqrt{2}}{2}$.
* $S_{MCD} = frac{1}{2} cdot frac{asqrt{2}}{2} cdot a = frac{a^2sqrt{2}}{4}$.
**Đáp án: B**

Ví dụ 9: Tính diện tích thiết diện của tứ diện đều với mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh đáy và trọng tâm đáy đối diện

Đề bài: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 2a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AC, BC; gọi P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
A. $a^2sqrt{3}$
B. $frac{3a^2sqrt{3}}{2}$
C. $frac{3a^2sqrt{2}}{2}$
D. $frac{a^2sqrt{3}}{2}$

Lời giải:

Thiết diện tam giác MND* Trong tam giác BCD, P là trọng tâm và N là trung điểm BC, suy ra 3 điểm N, P, D thẳng hàng.
* Giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (ABC), (BCD), (ACD) lần lượt là MN, ND, và MD.
* Thiết diện là tam giác MND.
* Ta có MN = AB/2 = a (MN là đường trung bình của tam giác ABC).
* Và DM = DN = $frac{ADsqrt{3}}{2} = frac{2asqrt{3}}{2} = asqrt{3}$.
* Tam giác MND cân tại D. Gọi H là trung điểm MN, suy ra DH ⊥ MN.
* Diện tích tam giác MND:
* $DH = sqrt{DN^2 – HN^2} = sqrt{(asqrt{3})^2 – a^2} = sqrt{3a^2 – a^2} = sqrt{2a^2} = asqrt{2}$.
* $S_{MND} = frac{1}{2} DH cdot MN = frac{1}{2} cdot asqrt{2} cdot a = frac{a^2sqrt{2}}{2}$.
**Đáp án: C**

Ví dụ 10: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua trung điểm hai cạnh đối diện và một điểm trên cạnh còn lại

Đề bài: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳng (α) qua MN cắt AD tại P. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) là:
A. Tứ giác
B. Tam giác
C. Ngũ giác
D. Hình bình hành

Lời giải:

Thiết diện tứ giác MPNQ* Trong mặt phẳng (ABD), gọi I là giao điểm của MP và BD.
* Trong mặt phẳng (BCD), gọi Q là giao điểm của IN và BC.
* Ta có:
* (α) ∩ (ABD) = PM
* (α) ∩ (ABC) = MQ
* (α) ∩ (ACD) = NP
* (α) ∩ (BCD) = NQ
* Thiết diện là tứ giác MPNQ.
**Đáp án: A**

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Xác định loại thiết diện không thể có

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng (α) tuỳ ý với hình chóp không thể là:
A. Lục giác
B. Ngũ giác
C. Tứ giác
D. Tam giác.

Lời giải:
Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp là đa giác được tạo bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với mỗi mặt của hình chóp. Hai mặt phẳng bất kỳ có nhiều nhất một giao tuyến. Hình chóp tứ giác S.ABCD có 5 mặt, do đó thiết diện của (α) với S.ABCD có tối đa 5 cạnh, không thể là hình lục giác.
Đáp án: A

Câu 2: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua các điểm đặc biệt

Đề bài: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E, F lần lượt trên đoạn SA, SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của EF và AB, J là giao điểm của HG và BC. Tìm mệnh đề đúng?
A. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFG) là tứ giác EFIG
B. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFJ) là tứ giác EFJH
C. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (GJF) là tứ giác EFJI trong đó I là giao điểm của IH và AC
D. Tất cả sai

Lời giải:

Thiết diện tứ giác EFJI* Nhận xét: 3 điểm J, G, H thẳng hàng và 3 điểm E, F, H thẳng hàng. Do đó, các mặt phẳng (EFG), (EFJ) và (GJF) trùng nhau.
* Ta xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (EFG).
* Trong mặt phẳng (ABC), gọi I là giao điểm của AC và HJ.
* Mặt phẳng (EFG) ∩ mp (ABC) = IJ.
* Mặt phẳng (EFG) ∩ mp (SBC) = JF.
* Mặt phẳng (EFG) ∩ mp (SAB) = FE.
* Mặt phẳng (EFG) ∩ mp (SAC) = EI.
* Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFG) là tứ giác EFJI.
**Đáp án: C**

Câu 3: Xác định số cạnh của thiết diện

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD. Điểm A’ nằm trên cạnh SC. Thiết diện của hình chóp với mp (ABA’) là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

Lời giải:

Thiết diện tứ giác ABA’M* Gọi M = IA’ ∩ SD, với I là giao điểm của AC và BD.
* (ABA’) ∩ (SCD) = A’M
* (ABA’) ∩ (SAD) = AM
* (ABA’) ∩ (ABCD) = AB
* (ABA’) ∩ (SBC) = BA’
* Thiết diện là tứ giác ABA’M.
**Đáp án: B**

Câu 4: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua một đỉnh và một điểm trên cạnh đối diện

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là:
A. Tam giác IBC
B. Hình thang IJCB (J là trung điểm SD)
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB)
D. Tứ giác IBCD

Lời giải:

Thiết diện hình thang IJCB* Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là giao điểm của CI và SO.
* Xét tam giác SAC, CI cắt SO tại G. Khi đó, G là trọng tâm tam giác SAC. Suy ra G cũng là trọng tâm tam giác SBD.
* Gọi J = BG ∩ SD. Khi đó J là trung điểm SD.
* Do đó, thiết diện của hình chóp cắt bởi (IBC) là hình thang IJCB.
**Đáp án: B**

Câu 5: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua các điểm trên đáy và một điểm trên cạnh bên

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO. Tìm mệnh đề đúng về thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP)?
A. Ngũ giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành

Lời giải:

Thiết diện ngũ giác MNHPK* Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E, K, F lần lượt là giao điểm của MN với DA, DB, DC.
* Trong mặt phẳng (SDB), gọi H = KP ∩ SB.
* Trong mặt phẳng (SAB), gọi T = EH ∩ SA.
* Trong mặt phẳng (SBC), gọi R = FH ∩ SC.
* Thiết diện là ngũ giác MNRHT.
**Đáp án: A**

Câu 6: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua điểm trên cạnh đáy và điểm trên cạnh đối diện

Đề bài: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc AB, N thuộc CD; điểm G nằm trong tam giác BCD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MNG)?
A. Tam giác MHN với H là giao điểm của NG và BC
B. Tam giác IHN trong đó I là giao điểm của AC và HM
C. Tứ giác MHND với H là giao điểm của NG và BC.
D. Tất cả sai

Lời giải:

Thiết diện tứ giác MHNK* Trong mp (BCD), gọi H là giao điểm của NG và BC.
* Trong mp (ABC), gọi I là giao điểm của HM và AC.
* Trong mp (ACD), gọi K là giao điểm của IN và AD.
* Thiết diện là tứ giác MHNK.
**Đáp án: D**

Câu 7: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua trung điểm các cạnh bên và đáy

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và SA. Tìm mệnh đề đúng về thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)?
A. Thiết diện là tam giác
B. Thiết diện là tứ giác
C. Thiết diện là ngũ giác
D. Thiết diện là tứ giác hoặc ngũ giác

Lời giải:

Thiết diện ngũ giác MNHPK* Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của MN và AD, F là giao điểm của MN và AB.
* Trong mặt phẳng (SAB), gọi K là giao điểm của PF và SB.
* Trong mặt phẳng (SAD), gọi H là giao điểm của PE và SD.
* Thiết diện là ngũ giác MNHPK.
**Đáp án: C**

Câu 8: Tìm thiết diện khi mặt phẳng cắt các cạnh bên và đáy

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình thang, đáy lớn AB. Gọi I, J là trung điểm SA, SB. Lấy điểm M tùy ý trên cạnh SD. Tìm mệnh đề đúng nhất về thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(MIJ)?
A. Thiết diện là tam giác MIJ
B. Thiết diện là tam giác IJE trong đó E là giao điểm của IM và SH; H là giao điểm của AD và BC.
C. Thiết diện là tứ giác
D. Thiết diện là tam giác hoặc tứ giác

Lời giải:

Thiết diện tứ giác IJKM* Trong mặt phẳng (ABCD), gọi H là giao điểm của AD và BC.
* Trong mặt phẳng (SAD), gọi E là giao điểm của IM và SH.
* Trong mặt phẳng (SBC), gọi K là giao điểm của JE và SC.
* Thiết diện là tứ giác IJKM.
**Đáp án: C**

Câu 9: Tìm thiết diện khi mặt phẳng đi qua một đỉnh, một điểm trên cạnh đối diện và giao điểm của hai đường chéo đáy

Đề bài: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là trung điểm của SD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(BCM)?
A. Tam giác MBC
B. Tứ giác BCME trong đó E là giao điểm của CI và SA, I là giao điểm của SO và BM
C. Tứ giác BCMN trong đó N là giao điểm của BM và SA
D. Đáp án khác

Lời giải:

Thiết diện tứ giác BCME* Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của SO và BM.
* Trong mặt phẳng (SAC), gọi E là giao điểm của SA và CI.
* Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(BCM) là tứ giác BCME.
**Đáp án: B**

D. Bài tập tự luyện

1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
2. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?
3. Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)?
4. Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.
   a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
   b. DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
   c. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
5. Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Gọi (a) là mặt phẳng xác định bởi ba điểm M, N, P. Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD.