Trong chương trình Toán lớp 12, đặc biệt là phần ứng dụng đạo hàm để khảo sát và vẽ đồ thị hàm số, dạng bài viết phương trình đường thẳng đi qua 2 điểm cực trị là một trong những chủ đề quan trọng và thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi. Việc nắm vững phương pháp không chỉ giúp các em học sinh giải quyết nhanh gọn dạng toán này mà còn xây dựng nền tảng vững chắc cho các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một hướng dẫn chi tiết, từ phương pháp tổng quát đến các ví dụ minh họa cụ thể, giúp bạn chinh phục hoàn toàn dạng bài này.
A. Phương pháp giải tổng quát
Để viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị của đồ thị hàm số, đặc biệt là hàm bậc ba, chúng ta áp dụng một phương pháp hiệu quả và nhanh chóng dựa trên phép chia đa thức.
Xét hàm số bậc ba: y = f(x) = ax³ + bx² + cx + d (với a ≠ 0).
-
Tìm đạo hàm: Tính đạo hàm y’ = f'(x) = 3ax² + 2bx + c.
-
Điều kiện có cực trị: Hàm số có hai điểm cực trị (cực đại và cực tiểu) khi và chỉ khi phương trình y’ = 0 có hai nghiệm phân biệt, tức là Δ của y’ > 0.
-
Thực hiện phép chia đa thức: Lấy đa thức y (hay f(x)) chia cho đa thức y’ (hay f'(x)). Ta sẽ được thương là Q(x) và phần dư là một nhị thức bậc nhất có dạng r(x) = mx + n.
Khi đó, ta có thể viết: f(x) = Q(x) . f'(x) + (mx + n)
-
Suy ra phương trình đường thẳng:
Gọi (x₁, y₁) và (x₂, y₂) là tọa độ của hai điểm cực trị. Tại các điểm này, ta luôn có f'(x₁) = 0 và f'(x₂) = 0.Thay tọa độ các điểm cực trị vào biểu thức trên, ta có:
- y₁ = f(x₁) = Q(x₁) . f'(x₁) + (mx₁ + n) = Q(x₁) . 0 + (mx₁ + n) = mx₁ + n
- y₂ = f(x₂) = Q(x₂) . f'(x₂) + (mx₂ + n) = Q(x₂) . 0 + (mx₂ + n) = mx₂ + n
