Tốc Độ Biến Thiên Của Cảm Ứng Từ Qua Vòng Dây Đồng

Bài toán yêu cầu xác định tốc độ biến thiên của cảm ứng từ qua một vòng dây đồng hình tròn khi biết các thông số về vòng dây và dòng điện cảm ứng xuất hiện trong đó. Đây là một bài tập ứng dụng định luật cảm ứng điện từ Faraday và định luật Ohm.

I. Phân tích bài toán

• Đối tượng: Một vòng dây đồng hình tròn.
• Thông số đã cho:
  • Đường kính vòng dây: 20 cm.
  • Tiết diện dây dẫn: 0,5 mm².
  • Điện trở suất của đồng: $1,75 times 10^{-8} , Omega m$.
  • Cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng vòng dây.
  • Dòng điện cảm ứng: $i_c = 2 , A$.
• Yêu cầu: Tìm tốc độ biến thiên của cảm ứng từ ($frac{Delta B}{Delta t}$).

II. Phương pháp giải

Để giải bài toán này, chúng ta cần áp dụng hai công thức chính:

1. Định luật Faraday về cảm ứng điện từ: Suất điện động cảm ứng tỉ lệ với tốc độ biến thiên của từ thông qua mạch kín. Trong trường hợp này, vì cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng vòng dây, từ thông được tính bằng $Phi = B cdot S$, trong đó $S$ là diện tích của vòng dây. Do đó, suất điện động cảm ứng có biểu thức:
   $e_c = -frac{Delta Phi}{Delta t} = -frac{Delta (B cdot S)}{Delta t}$.
   Vì diện tích $S$ không đổi, ta có: $e_c = -S frac{Delta B}{Delta t}$.
   Độ lớn của suất điện động cảm ứng là $|e_c| = S left| frac{Delta B}{Delta t} right|$.

2. Định luật Ohm cho toàn mạch: Mối quan hệ giữa suất điện động cảm ứng, điện trở của mạch và dòng điện cảm ứng.
   $|i_c| = frac{|e_c|}{R}$, trong đó $R$ là điện trở của vòng dây.

3. Tính điện trở của vòng dây: Điện trở của một dây dẫn được tính bằng công thức:
   $R = rho frac{ell}{S_o}$, trong đó $rho$ là điện trở suất, $ell$ là chiều dài dây và $So$ là tiết diện dây.
   Chiều dài $ell$ của vòng dây chính là chu vi của đường tròn: $ell = 2pi R{vong}$, với $R{vong}$ là bán kính của vòng dây. Hoặc $ell = pi d{vong}$ với $d_{vong}$ là đường kính của vòng dây.

III. Các bước thực hiện

1. Đổi đơn vị: Chuyển đổi tất cả các đơn vị về hệ SI.

   • Đường kính vòng dây: $d_{vong} = 20 , cm = 0,2 , m$.
   • Bán kính vòng dây: $R{vong} = frac{d{vong}}{2} = 0,1 , m$.
   • Tiết diện dây dẫn: $S_o = 0,5 , mm^2 = 0,5 times 10^{-6} , m^2$.

2. Tính diện tích vòng dây:
   $S = pi R_{vong}^2 = pi (0,1)^2 = 0,01pi , m^2$.

3. Tính chiều dài vòng dây:
   $ell = pi d_{vong} = pi (0,2) = 0,2pi , m$.

4. Tính điện trở của vòng dây:
   $R = rho frac{ell}{S_o} = (1,75 times 10^{-8}) frac{0,2pi}{0,5 times 10^{-6}}$.

5. Kết hợp các công thức:
   Từ định luật Ohm: $|e_c| = |i_c| R$.
   Thay vào biểu thức Faraday: $S left| frac{Delta B}{Delta t} right| = |i_c| R$.
   Suy ra: $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{|i_c| R}{S}$.
   Thay biểu thức của $R$ vào:
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{|i_c|}{S} left( rho frac{ell}{S_o} right)$.

6. Thay số và tính toán:
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2}{0,01pi} left( 1,75 times 10^{-8} frac{0,2pi}{0,5 times 10^{-6}} right)$.
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2}{0,01pi} times (1,75 times 10^{-8}) times frac{0,2pi}{0,5 times 10^{-6}}$.
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2 times 1,75 times 10^{-8} times 0,2 times pi}{0,01pi times 0,5 times 10^{-6}}$.
   Rút gọn $pi$:
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2 times 1,75 times 10^{-8} times 0,2}{0,01 times 0,5 times 10^{-6}}$.
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{0,7 times 10^{-8}}{0,005 times 10^{-6}} = frac{0,7}{0,005} times 10^{-2} = 140 times 10^{-2} = 1,4 , T/s$.

   Kiểm tra lại công thức tính R trong lời giải gốc:
   Lời giải gốc sử dụng công thức: $left| {{i_c}} right| = frac{{left| {{e_c}} right|}}{R} = frac{{Delta Phi }}{{Delta t cdot frac{{rho ell }}{{{S_o}}}}} = frac{{Delta B}}{{Delta t}} cdot frac{{S}}{R} cdot frac{R}{rho ell / S_o}$.
   Chỗ này có vẻ hơi lẫn lộn giữa R (điện trở) và S (diện tích vòng dây).
   Ta có $|e_c| = S |frac{Delta B}{Delta t}|$ và $R = rho frac{ell}{S_o}$.
   Từ $|i_c| = frac{|e_c|}{R}$, ta có $|i_c| = frac{S |frac{Delta B}{Delta t}|}{rho frac{ell}{S_o}}$.
   Suy ra $|frac{Delta B}{Delta t}| = |i_c| frac{rho ell / S_o}{S}$.

   Thử lại với công thức trong lời giải:
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{pi R{vong}^2}{rho pi d{vong}} cdot So$
   Ở đây, $S = pi R{vong}^2$.
   Và có vẻ $frac{ell}{So}$ đã được thay thế bằng $frac{pi d{vong}}{rho S_o}$.
   Điện trở $R = rho frac{ell}{S_o}$.
   Suất điện động cảm ứng $|e_c| = S |frac{Delta B}{Delta t}|$.
   Dòng điện cảm ứng $|i_c| = frac{|e_c|}{R} = frac{S |frac{Delta B}{Delta t}|}{R}$.
   $implies |frac{Delta B}{Delta t}| = frac{|i_c| R}{S}$.

   Áp dụng lại công thức ban đầu với các giá trị đã tính:
   $R = (1,75 times 10^{-8}) frac{0,2pi}{0,5 times 10^{-6}} = (1,75 times 10^{-8}) times 400pi times 10^6 = 1,75 times 400pi times 10^{-2} approx 2,199 , Omega$.
   $S = pi (0,1)^2 = 0,01pi , m^2$.
   $|frac{Delta B}{Delta t}| = frac{2 times 2,199}{0,01pi} approx frac{4,398}{0,0314} approx 140 , T/s$.
   Kết quả này không khớp với đáp án.

   Xem lại cách biến đổi trong lời giải gốc:
   $|i_c| = frac{|e_c|}{R} = frac{S |Delta B / Delta t|}{R}$
   $R = rho frac{ell}{S_o}$
   $|i_c| = frac{S |Delta B / Delta t|}{rho ell / S_o}$
   $|frac{Delta B}{Delta t}| = frac{|i_c| rho ell / S_o}{S}$

   Quan sát công thức trong lời giải:
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{0,1^2}{1,75.10^{-8}.0,2} cdot 0,5.10^{-6}$
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{0,01}{1,75.10^{-8} times 0,2} cdot 0,5.10^{-6}$
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{0,01}{0,35 times 10^{-8}} cdot 0,5 times 10^{-6}$
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{0,01 times 0,5 times 10^{-6}}{0,35 times 10^{-8}}$
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{0,005 times 10^{-6}}{0,35 times 10^{-8}}$
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{0,005}{0,35} times 10^2$
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{50}{0,35} = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{5000}{35} = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{1000}{7}$
   $frac{Delta B}{Delta t} = 2 cdot frac{7}{1000} = frac{14}{1000} = 0,014 , T/s$. Kết quả này cũng không khớp.

   Phân tích lại lời giải gốc:
   $2 = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{{0,1^2}}{1,75.10^{ – 8}}.0,2 cdot 0,5.10^{ – 6}$
   Có vẻ như công thức đã bị ghi nhầm hoặc biến đổi sai.
   Cụ thể, công thức gốc là: $|ic| = frac{Delta B}{Delta t} cdot frac{pi R{vong}^2}{rho pi d_{vong}} cdot S_o$
   Trong đó:

   • $S = pi R_{vong}^2$ là diện tích vòng dây.
   • $R = rho frac{ell}{S_o}$ là điện trở vòng dây.
   • $|e_c| = S |frac{Delta B}{Delta t}|$.
   • $|i_c| = frac{|e_c|}{R} = frac{S |frac{Delta B}{Delta t}|}{R}$.
   • $|frac{Delta B}{Delta t}| = frac{|i_c| R}{S}$.

   Thay $R = rho frac{ell}{So}$ và $S = pi R{vong}^2$:
   $|frac{Delta B}{Delta t}| = frac{|i_c| rho ell / So}{pi R{vong}^2}$.
   Với $ell = pi d{vong} = 2pi R{vong}$.
   $|frac{Delta B}{Delta t}| = frac{|ic| rho (2pi R{vong}) / So}{pi R{vong}^2} = frac{|i_c| rho cdot 2}{So R{vong}}$.

   Áp dụng lại với các giá trị:
   $|i_c| = 2 , A$.
   $rho = 1,75 times 10^{-8} , Omega m$.
   $So = 0,5 times 10^{-6} , m^2$.
   $R{vong} = 0,1 , m$.
   $|frac{Delta B}{Delta t}| = frac{2 times (1,75 times 10^{-8}) times 2}{(0,5 times 10^{-6}) times 0,1} = frac{7 times 10^{-8}}{0,05 times 10^{-6}} = frac{7 times 10^{-8}}{5 times 10^{-8}} = 1,4 , T/s$.

   Cách giải này khớp với đáp án. Có vẻ như công thức trong phần lời giải của GV có lỗi trong cách biểu diễn.

IV. Tính toán chi tiết

1. Đổi đơn vị:

   • Bán kính vòng dây: $R_{vong} = frac{20}{2} , cm = 10 , cm = 0,1 , m$.
   • Tiết diện dây dẫn: $S_o = 0,5 , mm^2 = 0,5 times 10^{-6} , m^2$.
   • Điện trở suất của đồng: $rho = 1,75 times 10^{-8} , Omega m$.
   • Cảm ứng từ vuông góc với mặt phẳng vòng dây.
   • Dòng điện cảm ứng: $i_c = 2 , A$.

2. Tính điện trở của vòng dây:

   • Chiều dài dây: $ell = 2pi R_{vong} = 2pi (0,1) = 0,2pi , m$.
   • Điện trở: $R = rho frac{ell}{S_o} = (1,75 times 10^{-8}) frac{0,2pi}{0,5 times 10^{-6}} = (1,75 times 10^{-8}) times frac{0,2pi}{0,5 times 10^{-6}}$.
     $R = (1,75 times 10^{-8}) times (0,4pi times 10^6) = 0,7pi times 10^{-2} , Omega$.

3. Tính diện tích vòng dây:
   $S = pi R_{vong}^2 = pi (0,1)^2 = 0,01pi , m^2$.

4. Áp dụng định luật Faraday và Ohm:

   • Độ lớn suất điện động cảm ứng: $|e_c| = S left| frac{Delta B}{Delta t} right|$.
   • Độ lớn dòng điện cảm ứng: $|i_c| = frac{|e_c|}{R}$.
   • Kết hợp hai phương trình: $|i_c| = frac{S left| frac{Delta B}{Delta t} right|}{R}$.
   • Suy ra tốc độ biến thiên cảm ứng từ: $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{|i_c| R}{S}$.

5. Thay số và tính toán:
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2 times (0,7pi times 10^{-2})}{0,01pi}$.
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2 times 0,7pi times 10^{-2}}{0,01pi}$.
   Rút gọn $pi$:
   $left| frac{Delta B}{Delta t} right| = frac{2 times 0,7 times 10^{-2}}{0,01} = frac{1,4 times 10^{-2}}{10^{-2}} = 1,4 , T/s$.

V. Kết luận

Tốc độ biến thiên của cảm ứng từ qua vòng dây đồng là $1,4 , T/s$.

Đáp án: D. $1,4 , T/s$.