Phương Trình Đường Thẳng Và Cách Giải Bài Tập

Nắm vững lý thuyết về phương trình đường thẳng là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan trong chương trình Toán lớp 10. Bài viết này cung cấp một cái nhìn tổng quan về các khái niệm cốt lõi, các dạng bài tập thường gặp và phương pháp giải chi tiết, giúp học sinh củng cố kiến thức và tự tin chinh phục các dạng bài tập này. Đây cũng là nền tảng quan trọng để tiếp tục tìm hiểu về chuyên đề hình học không gian lớp 11.

A. Lý Thuyết Tổng Hợp

1. Các Vectơ Của Đường Thẳng

• Vectơ chỉ phương: Vectơ $vec{u}$ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$ nếu $vec{u}$ song song hoặc trùng với $Delta$.
• Vectơ pháp tuyến: Vectơ $vec{n}$ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta$ nếu $vec{n}$ vuông góc với $Delta$.

Nhận xét:

• Nếu $vec{u}$ là một vectơ chỉ phương của đường thẳng $Delta$ thì $kvec{u}$ ($k neq 0$) cũng là một vectơ chỉ phương của $Delta$.
• Nếu $vec{n}$ là một vectơ pháp tuyến của đường thẳng $Delta$ thì $kvec{n}$ ($k neq 0$) cũng là một vectơ pháp tuyến của $Delta$.
• Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một vectơ chỉ phương hoặc một vectơ pháp tuyến của đường thẳng đó.
• Mỗi đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương và vô số vectơ pháp tuyến.

2. Phương Trình Tổng Quát Của Đường Thẳng

• Định nghĩa: Phương trình $ax + by + c = 0$ ($a^2 + b^2 neq 0$) là phương trình tổng quát của đường thẳng $Delta$ nhận $vec{n} = (a; b)$ làm vectơ pháp tuyến.

• Các dạng đặc biệt:

  • $ax + c = 0$, $a neq 0$: Đường thẳng song song với trục Oy hoặc trùng với trục Oy khi $a=1$ và $c=0$.
  • $ay + c = 0$, $a neq 0$: Đường thẳng song song với trục Ox hoặc trùng với trục Ox khi $a=1$ và $c=0$.
  • $ax + by = 0$, $a^2 + b^2 neq 0$: Đường thẳng đi qua gốc tọa độ O(0; 0).

3. Phương Trình Tham Số Của Đường Thẳng

• Định nghĩa: Hệ phương trình $begin{cases} x = x_0 + at y = y_0 + bt end{cases}$, $a^2 + b^2 neq 0$ là phương trình tham số của đường thẳng $Delta$ đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và nhận vectơ $vec{u} = (a; b)$ làm vectơ chỉ phương, với $t$ là tham số.

• Chú ý: Với mỗi $t in mathbb{R}$ thay vào phương trình tham số ta được một điểm $M(x; y)$ thuộc đường thẳng.

  • Phương trình chính tắc: $frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b}$ ($a.b neq 0$) là phương trình chính tắc của đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ và nhận $vec{u} = (a; b)$ làm vectơ chỉ phương.
  • Phương trình đoạn chắn: Đường thẳng cắt hai trục Ox và Oy lần lượt tại hai điểm A ($a$; 0), B (0; $b$) với $a.b neq 0$ có phương trình đoạn chắn là $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$.

4. Hệ Số Góc

Phương trình đường thẳng đi qua điểm $M(x_0; y_0)$ có hệ số góc $k$ thỏa mãn: $y – y_0 = k(x – x_0)$.

• Nếu đường thẳng $Delta$ có vectơ chỉ phương $vec{u} = (u_1; u_2)$ với $u_1 neq 0$ thì hệ số góc của $Delta$ là $k = frac{u_2}{u_1}$.
• Nếu đường thẳng $Delta$ có hệ số góc $k$ thì $Delta$ có vectơ chỉ phương là $vec{u} = (1; k)$.

5. Vị Trí Tương Đối Của Hai Đường Thẳng

Xét hai đường thẳng $Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ với $a_1^2 + b_1^2 neq 0$, $a_2^2 + b_2^2 neq 0$. Tọa độ giao điểm của hai đường thẳng đó là nghiệm của hệ phương trình: $begin{cases} a_1x + b_1y + c_1 = 0 a_2x + b_2y + c_2 = 0 end{cases}$ (1)

Ta có các trường hợp sau:

• TH1: Hệ (1) có duy nhất một nghiệm $(x_0; y_0) implies Delta_1$ và $Delta_2$ cắt nhau tại $M(x_0; y_0)$.
• TH2: Hệ (1) có vô số nghiệm $implies Delta_1$ trùng với $Delta_2$.
• TH3: Hệ (1) vô nghiệm $implies Delta_1$ song song với $Delta_2$.

Chú ý: Với $a_2, b_2, c_2 neq 0$ ta có:

• $Delta_1$ cắt $Delta_2 Leftrightarrow frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2}$.
• $Delta_1 // Delta_2 Leftrightarrow frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2}$.
• $Delta_1 equiv Delta_2 Leftrightarrow frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$.

6. Góc Giữa Hai Đường Thẳng

• Cho hai đường thẳng $Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ có vectơ pháp tuyến $vec{n_1} = (a_1; b_1)$ và $Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$ có vectơ pháp tuyến $vec{n_2} = (a_2; b_2)$ với $a_1^2 + b_1^2 neq 0$, $a_2^2 + b_2^2 neq 0$, góc giữa hai đường thẳng đó được ký hiệu là $(Delta_1, Delta_2)$, với $(Delta_1, Delta_2) in [0; frac{pi}{2}]$. Đặt $phi = (Delta_1, Delta_2)$ ta có: $cos phi = |cos(vec{n_1}, vec{n_2})| = frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2} sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$. Để hiểu rõ hơn về các phép tính liên quan đến cosin và sin, học sinh có thể tham khảo thêm các công thức lượng giác đầy đủ.

• Chú ý:

  • $Delta_1 perp Delta_2 Leftrightarrow a_1a_2 + b_1b_2 = 0$.
  • Nếu $Delta_1$ và $Delta_2$ có phương trình dạng $y = k_1x + m_1$ và $y = k_2x + m_2$ thì $Delta_1 perp Delta_2 Leftrightarrow k_1k_2 = -1$.
  • Nếu $vec{u_1} = (x_1; y_1)$ là vectơ chỉ phương của $Delta_1$, $vec{u_2} = (x_2; y_2)$ là vectơ chỉ phương của $Delta_2$. Thì $cos(Delta_1, Delta_2) = |cos(vec{u_1}, vec{u_2})| = frac{|vec{u_1} cdot vec{u_2}|}{|vec{u_1}| |vec{u_2}|}$.

7. Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng

Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng $Delta$ có phương trình $ax + by + c = 0$ và điểm $M(x_0; y_0)$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $Delta$ được ký hiệu là $d(M, Delta)$, tính bằng công thức: $d(M, Delta) = frac{|ax_0 + by_0 + c|}{sqrt{a^2 + b^2}}$.

B. Các Dạng Bài Tập

Dạng 1: Cách Viết Các Dạng Phương Trình Đường Thẳng

Phương pháp giải:

a) Cách viết phương trình tổng quát của đường thẳng $Delta$:

• Tìm vectơ pháp tuyến $vec{n} = (a; b)$ của đường thẳng $Delta$.

• Tìm một điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường thẳng $Delta$.

• Viết phương trình theo công thức: $a(x – x_0) + b(y – y_0) = 0$.

• Biến đổi thành dạng $ax + by + c = 0$.

  • Nếu đường thẳng $Delta$ song song với đường thẳng $ax + by + c = 0$ thì $Delta$ có phương trình tổng quát $ax + by + c’ = 0$, $c neq c’$.
  • Nếu đường thẳng $Delta$ vuông góc với đường thẳng $ax + by + c = 0$ thì có phương trình tổng quát $-bx + ay + c’ = 0$, $c neq c’$.

b) Cách viết phương trình tham số của đường thẳng:

• Tìm vectơ chỉ phương $vec{u} = (u_1; u_2)$ của đường thẳng $Delta$.

• Tìm một điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường thẳng $Delta$.

• Viết phương trình tham số: $begin{cases} x = x_0 + at y = y_0 + bt end{cases}$.

  • Nếu đường thẳng $Delta$ có hệ số góc $k$ thì $Delta$ có vectơ chỉ phương $vec{u} = (1; k)$.
  • Nếu đường thẳng $Delta$ có vectơ pháp tuyến $vec{n} = (a; b)$ thì $Delta$ có vectơ chỉ phương $vec{u} = (-b; a)$ hoặc $vec{u} = (b; -a)$.

c) Cách viết phương trình chính tắc của đường thẳng $Delta$ (chỉ áp dụng khi có vectơ chỉ phương $vec{u} = (a; b)$ với $a.b neq 0$):

• Tìm vectơ chỉ phương $vec{u} = (a; b)$ ($a.b neq 0$) của đường thẳng $Delta$.
• Tìm một điểm $M(x_0; y_0)$ thuộc đường thẳng $Delta$.
• Viết phương trình chính tắc: $frac{x – x_0}{a} = frac{y – y_0}{b}$.

d) Cách viết phương trình đoạn chắn của đường thẳng $Delta$ (chỉ áp dụng khi đường thẳng cắt hai trục Ox, Oy):

• Tìm hai giao điểm của $Delta$ với trục Ox, Oy lần lượt là A($a$; 0), B(0; $b$).
• Viết phương trình đoạn chắn $frac{x}{a} + frac{y}{b} = 1$ ($a.b neq 0$).

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho đường thẳng $d$ cắt trục Ox, Oy tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0). Viết phương trình tổng quát và phương trình đoạn chắn của đường thẳng $d$.

Lời giải: Vì A(0; 5) và B(6; 0) thuộc đường thẳng $d$ nên $vec{AB} = (6-0; 0-5) = (6; -5)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Vectơ pháp tuyến của $d$ là $vec{n} = (5; 6)$. Chọn điểm A(0; 5) thuộc đường thẳng $d$, ta có phương trình tổng quát của đường thẳng $d$: $5(x – 0) + 6(y – 5) = 0 implies 5x + 6y – 30 = 0$. Vì đường thẳng $d$ cắt trục Ox, Oy lần lượt tại hai điểm A(0; 5) và B(6; 0) nên ta có phương trình đoạn chắn: $frac{x}{6} + frac{y}{5} = 1$.

Bài 2: Cho đường thẳng $d$ đi qua hai điểm $M(5; 8)$ và $N(3; 1)$. Viết phương trình tham số và phương trình chính tắc của đường thẳng $d$.

Lời giải: Vì $M(5; 8)$ và $N(3; 1)$ thuộc đường thẳng $d$ nên $vec{MN} = (3 – 5; 1 – 8) = (-2; -7)$ là vectơ chỉ phương của đường thẳng $d$. Chọn điểm $N(3; 1)$ thuộc đường thẳng $d$, ta có phương trình tham số của đường thẳng $d$: $begin{cases} x = 3 – 2t y = 1 – 7t end{cases}$. Chọn điểm $M(5; 8)$ thuộc đường thẳng $d$, ta có phương trình chính tắc của đường thẳng $d$: $frac{x – 5}{-2} = frac{y – 8}{-7}$.

Dạng 2: Vị Trí Tương Đối Giữa Hai Đường Thẳng

Phương pháp giải: Áp dụng lý thuyết về vị trí tương đối giữa hai đường thẳng: $Delta_1: a_1x + b_1y + c_1 = 0$ và $Delta_2: a_2x + b_2y + c_2 = 0$. Xét tỉ số: $frac{a_1}{a_2}, frac{b_1}{b_2}, frac{c_1}{c_2}$.

• $Delta_1$ cắt $Delta_2 Leftrightarrow frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2}$.
• $Delta_1 // Delta_2 Leftrightarrow frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} neq frac{c_1}{c_2}$.
• $Delta_1 equiv Delta_2 Leftrightarrow frac{a_1}{a_2} = frac{b_1}{b_2} = frac{c_1}{c_2}$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng sau: a) $d_1: 4x – 10y + 1 = 0$ và $d_2 : x + y + 2 = 0$. b) $d_3: 12x – 6y + 10 = 0$ và $d_4 : 2x – y + 5 = 0$. c) $d_5: 8x + 10y – 12 = 0$ và $d_6 : 4x + 5y – 6 = 0$.

Lời giải: a) Ta có $frac{a_1}{a_2} = frac{4}{1} = 4$, $frac{b_1}{b_2} = frac{-10}{1} = -10$. Vì $frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2}$ nên $d_1$ và $d_2$ cắt nhau. b) Ta có $frac{a_3}{a_4} = frac{12}{2} = 6$, $frac{b_3}{b_4} = frac{-6}{-1} = 6$, $frac{c_3}{c_4} = frac{10}{5} = 2$. Vì $frac{a_3}{a_4} = frac{b_3}{b_4} neq frac{c_3}{c_4}$ nên $d_3 // d_4$. c) Ta có $frac{a_5}{a_6} = frac{8}{4} = 2$, $frac{b_5}{b_6} = frac{10}{5} = 2$. Vì $frac{a_5}{a_6} = frac{b_5}{b_6}$, ta xét tỉ lệ với $c$: $frac{c_5}{c_6} = frac{-12}{-6} = 2$. Vì $frac{a_5}{a_6} = frac{b_5}{b_6} = frac{c_5}{c_6}$ nên $d_5 equiv d_6$.

Bài 2: Cho hai đường thẳng: $d_1: x – 2y + 5 = 0$ và $d_2 : 3x – y = 0$. Tìm tọa độ giao điểm của $d_1$ và $d_2$.

Lời giải: Xét hệ số: $frac{a_1}{a_2} = frac{1}{3}$, $frac{b_1}{b_2} = frac{-2}{-1} = 2$. Vì $frac{a_1}{a_2} neq frac{b_1}{b_2}$ nên $d_1$ và $d_2$ cắt nhau. Tìm tọa độ giao điểm bằng cách giải hệ phương trình: $begin{cases} x – 2y + 5 = 0 3x – y = 0 end{cases} implies begin{cases} x = 2y – 5 y = 3x end{cases}$. Thay $y = 3x$ vào phương trình đầu: $x – 2(3x) + 5 = 0 implies x – 6x + 5 = 0 implies -5x = -5 implies x = 1$. Suy ra $y = 3(1) = 3$. Vậy $d_1$ và $d_2$ cắt nhau tại $M(1; 3)$.

Dạng 3: Tính Góc Giữa Hai Đường Thẳng

Phương pháp giải: Sử dụng công thức tính cosin của góc giữa hai đường thẳng dựa trên vectơ pháp tuyến hoặc hệ số góc.

• Vectơ pháp tuyến: $cos phi = frac{|a_1a_2 + b_1b_2|}{sqrt{a_1^2 + b_1^2} sqrt{a_2^2 + b_2^2}}$.
• Hệ số góc: Nếu hai đường thẳng có phương trình dạng $y = k_1x + m_1$ và $y = k_2x + m_2$, thì $tan phi = |frac{k_1 – k_2}{1 + k_1k_2}|$.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Cho hai đường thẳng $d: 2x + y – 1 = 0$ và $d’: x – 3y + 2 = 0$. Xác định số đo góc giữa $d$ và $d’$.

Lời giải: Vectơ pháp tuyến của $d$ là $vec{n_1} = (2; 1)$. Vectơ pháp tuyến của $d’$ là $vec{n_2} = (1; -3)$. Ta có: $cos(d; d’) = |cos(vec{n_1}, vec{n_2})| = frac{|2 cdot 1 + 1 cdot (-3)|}{sqrt{2^2 + 1^2} sqrt{1^2 + (-3)^2}} = frac{|2 – 3|}{sqrt{5} sqrt{10}} = frac{1}{sqrt{50}} = frac{1}{5sqrt{2}} = frac{sqrt{2}}{10}$. Góc giữa hai đường thẳng là $(d; d’) = arccos(frac{sqrt{2}}{10})$.

Bài 2: Cho hai đường thẳng $d: 4x – 2y + 6 = 0$ và $d’: x + 2y + 1 = 0$. Xác định số đo góc giữa $d$ và $d’$.

Lời giải: Vectơ pháp tuyến của $d$ là $vec{n_1} = (4; -2)$. Vectơ pháp tuyến của $d’$ là $vec{n_2} = (1; 2)$. Ta có: $vec{n_1} cdot vec{n_2} = 4 cdot 1 + (-2) cdot 2 = 4 – 4 = 0$. Do tích vô hướng bằng 0, $d perp d’$. Góc giữa hai đường thẳng là $(d; d’) = 90^circ$.

Dạng 4: Khoảng Cách Từ Một Điểm Đến Một Đường Thẳng

Phương pháp giải: Áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng.

Ví dụ minh họa:

Bài 1: Tìm bán kính của đường tròn tâm $C(-2; -2)$. Biết đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $Delta: 5x + 12y – 10 = 0$.

Lời giải: Vì đường tròn tiếp xúc với đường thẳng $Delta$, bán kính của đường tròn bằng khoảng cách từ tâm $C$ đến đường thẳng $Delta$. Ta có: $R = d(C, Delta) = frac{|5(-2) + 12(-2) – 10|}{sqrt{5^2 + 12^2}} = frac{|-10 – 24 – 10|}{sqrt{25 + 144}} = frac{|-44|}{sqrt{169}} = frac{44}{13}$.

Bài 2: Cho điểm $A(3; 6)$. Tìm khoảng cách từ $A$ đến đường thẳng $d: 2x + y – 5 = 0$.

Lời giải: Khoảng cách từ $A(3; 6)$ đến đường thẳng $d: 2x + y – 5 = 0$ là: $d(A; d) = frac{|2(3) + 6 – 5|}{sqrt{2^2 + 1^2}} = frac{|6 + 6 – 5|}{sqrt{5}} = frac{|7|}{sqrt{5}} = frac{7sqrt{5}}{5}$.

C. Bài Tập Tự Luyện

Bài 1: Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$ biết $d$ đi qua 2 điểm $A(3; 5)$ và $B(4; 6)$.

• Đáp án: $d: -x + y = 2$

Bài 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $d’$ biết $d’$ đi qua 2 điểm $A(2; 7)$ và $B(0; 5)$.

• Hướng dẫn giải: $vec{AB} = (-2; -2)$. Phương trình tham số: $begin{cases} x = 2 – 2t y = 7 – 2t end{cases}$.

Bài 3: Viết phương trình đường thẳng $y = ax + b$ biết đường thẳng này đi qua hai điểm $A(-3; 2), B(5; -4)$.

• Hướng dẫn giải: $a = frac{-4 – 2}{5 – (-3)} = frac{-6}{8} = -frac{3}{4}$. Thay $A(-3; 2)$ vào $y = -frac{3}{4}x + b$, ta có $2 = -frac{3}{4}(-3) + b implies b = 2 – frac{9}{4} = -frac{1}{4}$. Phương trình là $y = -frac{3}{4}x – frac{1}{4}$.

Bài 4: Viết phương trình đường thẳng $y = ax + b$ biết đường thẳng này đi qua $A(3; 1)$ và song song với đường thẳng $y = -2x + m – 1$.

• Hướng dẫn giải: Do đường thẳng song song với $y = -2x + m – 1$ nên $a = -2$. Phương trình đường thẳng trở thành $y = -2x + b$. Đường thẳng này đi qua $A(3; 1)$ nên $1 = -2(3) + b implies b = 7$. Phương trình là $y = -2x + 7$.

Bài 5: Cho đường thẳng $AB$ với $A(-2; 3)$ và $B(4; -1)$. Hãy tìm phương trình chính tắc của đường thẳng $AB$.

• Hướng dẫn giải: Ta có $vec{AB} = (4 – (-2); -1 – 3) = (6; -4)$. Phương trình chính tắc: $frac{x – (-2)}{6} = frac{y – 3}{-4}$ hay $frac{x+2}{6} = frac{3-y}{4}$.

Bài 6: Viết phương trình chính tắc của đường thẳng $d$ đi qua $M(2; 3)$ và nhận vectơ $vec{u} = (1; 2)$ làm vectơ chỉ phương.

• Đáp án: $frac{x – 2}{1} = frac{y – 3}{2}$.

Bài 7: Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3; 5)$ và $N(2; 1)$. Viết phương trình tổng quát của đường thẳng $d$.

• Hướng dẫn giải: $vec{MN} = (2-3; 1-5) = (-1; -4)$. Vectơ pháp tuyến $vec{n} = (4; -1)$. Phương trình tổng quát: $4(x-3) – 1(y-5) = 0 implies 4x – y – 7 = 0$.

Bài 8: Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3; 5)$ và $N(2; 1)$. Viết phương trình tham số của đường thẳng $d$.

• Hướng dẫn giải: $vec{MN} = (-1; -4)$. Chọn điểm $M(3; 5)$. Phương trình tham số: $begin{cases} x = 3 – t y = 5 – 4t end{cases}$.

Bài 9: Cho đường thẳng $d$ đi qua điểm $M(3; 4)$ nhận vectơ $vec{u} = (1; 3)$ làm vectơ chỉ phương. Viết phương trình đường thẳng $d$ dưới dạng chính tắc?

• Đáp án: $frac{x – 3}{1} = frac{y – 4}{3}$.

Bài 10: Cho parabol (P): $y = -x^2$. Viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm A và B biết A và B là hai điểm thuộc (P) và có hoành độ lần lượt là 1 và 2.

• Hướng dẫn giải: Với $x=1 implies y = -1^2 = -1 implies A(1; -1)$. Với $x=2 implies y = -2^2 = -4 implies B(2; -4)$. Vectơ chỉ phương $vec{AB} = (2-1; -4-(-1)) = (1; -3)$. Phương trình tham số: $begin{cases} x = 1 + t y = -1 – 3t end{cases}$. Phương trình chính tắc: $frac{x – 1}{1} = frac{y + 1}{-3}$.

Tài liệu tham khảo

• Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/
• Hỗ trợ zalo: VietJack Official
• Tổng đài hỗ trợ đăng ký: 084 283 45 85

Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng…miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.

[

[

Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube.