Đạo hàm là một trong những khái niệm nền tảng và quan trọng bậc nhất của Giải tích, mở ra một chương mới trong việc nghiên cứu sự biến thiên và các đặc tính của hàm số. Đối với học sinh lớp 11, việc nắm vững định nghĩa, các quy tắc tính và ứng dụng của đạo hàm không chỉ là yêu cầu bắt buộc để chinh phục các bài kiểm tra mà còn là tiền đề cho chương trình Toán học lớp 12 và bậc đại học.
Bài viết này sẽ hệ thống hóa toàn bộ kiến thức trọng tâm về chuyên đề đạo hàm, từ lý thuyết cơ bản đến các dạng bài tập ứng dụng, giúp bạn xây dựng một nền tảng vững chắc và tự tin giải quyết mọi bài toán liên quan.
TÓM TẮT
I. Định Nghĩa và Các Quy Tắc Tính Đạo Hàm
Nền tảng của toàn bộ chuyên đề bắt đầu từ việc hiểu đúng định nghĩa và thành thạo các quy tắc tính. Đây là những công cụ cơ bản nhất bạn cần trang bị.
1. Tính đạo hàm bằng định nghĩa
Theo định nghĩa, đạo hàm của hàm số y = f(x) tại điểm x₀ là giới hạn hữu hạn (nếu có) của tỉ số giữa số gia của hàm số và số gia của đối số khi số gia của đối số tiến về 0.
Ký hiệu: f'(x₀) hoặc y'(x₀).
Công thức:f'(x₀) = lim (Δx→0) [f(x₀ + Δx) - f(x₀)] / Δx
Trong đó:
Δx = x - x₀là số gia của đối số.Δy = f(x₀ + Δx) - f(x₀)là số gia của hàm số.
2. Bảng đạo hàm các hàm số thường gặp
Để tính toán nhanh và chính xác, bạn cần phải ghi nhớ bảng đạo hàm của các hàm số cơ bản sau:
| Hàm số (y) | Đạo hàm (y’) | Hàm hợp (y = u(x)) | Đạo hàm (y’) |
|---|---|---|---|
c (hằng số) |
0 |
||
x |
1 |
u |
u' |
xⁿ (n ∈ ℕ, n > 1) |
n.xⁿ⁻¹ |
uⁿ |
n.uⁿ⁻¹.u' |
√x |
1 / (2√x) |
√u |
u' / (2√u) |
1/x |
-1 / x² |
1/u |
-u' / u² |
sinx |
cosx |
sinu |
u'.cosu |
cosx |
-sinx |
cosu |
-u'.sinu |
tanx |
1 / cos²x |
tanu |
u' / cos²u |
cotx |
-1 / sin²x |
cotu |
-u' / sin²u |
3. Các quy tắc tính đạo hàm
Với các hàm số phức tạp hơn, chúng ta cần áp dụng các quy tắc sau:
- Quy tắc tổng, hiệu:
(u ± v)' = u' ± v' - Quy tắc tích:
(u.v)' = u'.v + u.v' - Quy tắc thương:
(u/v)' = (u'.v - u.v') / v²(với v ≠ 0)
Việc hiểu sâu các quy tắc này là cực kỳ quan trọng, bởi chúng là nền tảng cho nhiều ngành khoa học tự nhiên. Ví dụ, trong hóa học, tốc độ phản ứng tức thời chính là đạo hàm của nồng độ theo thời gian. Sự thay đổi tính chất của các nguyên tố cũng tuân theo những quy luật chặt chẽ, chẳng hạn như việc xác định nguyên tố có độ âm điện lớn nhất trong bảng tuần hoàn.
II. Ứng Dụng Quan Trọng: Phương Trình Tiếp Tuyến
Một trong những ứng dụng hình học ý nghĩa nhất của đạo hàm chính là xác định hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị hàm số.
Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm M(x₀, y₀) có dạng:y - y₀ = f'(x₀)(x - x₀)
Trong đó:
(x₀, y₀)là tọa độ của tiếp điểm.k = f'(x₀)là hệ số góc của tiếp tuyến.
Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại một điểm M(x₀, y₀)
Đây là dạng toán cơ bản nhất.
- Bước 1: Tính
y' = f'(x). - Bước 2: Tính hệ số góc
k = f'(x₀). - Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến theo công thức trên.
Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hệ số góc k
- Bước 1: Tính
y' = f'(x). - Bước 2: Giải phương trình
f'(x) = kđể tìm hoành độ tiếp điểmx₀. - Bước 3: Với mỗi
x₀tìm được, tính tung độy₀ = f(x₀). - Bước 4: Viết phương trình tiếp tuyến tại các điểm vừa tìm được.
Lưu ý các trường hợp đặc biệt:
- Tiếp tuyến song song với đường thẳng
y = ax + bthì có hệ số góck = a. - Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng
y = ax + bthì có hệ số góck = -1/a.
Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua một điểm A(x₁, y₁)
Đây là dạng toán phức tạp hơn, đòi hỏi nhiều bước biến đổi.
- Bước 1: Gọi
M(x₀, f(x₀))là tiếp điểm. - Bước 2: Phương trình tiếp tuyến tại M có dạng
y = f'(x₀)(x - x₀) + f(x₀). - Bước 3: Vì tiếp tuyến đi qua
A(x₁, y₁), ta thay tọa độ điểm A vào phương trình trên:y₁ = f'(x₀)(x₁ - x₀) + f(x₀). - Bước 4: Giải phương trình (ẩn
x₀) để tìm hoành độ tiếp điểm. - Bước 5: Lặp lại các bước như Dạng 1 cho mỗi giá trị
x₀tìm được.
Tương tự như toán học, việc phân loại các đối tượng dựa trên tính chất cũng rất phổ biến trong các môn khoa học khác. Ví dụ, để biết nguyên tố nào sau đây là kim loại chuyển tiếp, các nhà hóa học phải dựa vào cấu hình electron và các quy luật biến đổi tuần hoàn.
III. Mở Rộng Khái Niệm: Đạo Hàm Cấp Cao và Vi Phân
1. Đạo hàm cấp cao
Đạo hàm cấp cao là việc lấy đạo hàm của một hàm số nhiều lần liên tiếp.
- Đạo hàm cấp 2, ký hiệu
y''hoặcf''(x), là đạo hàm của đạo hàm cấp 1:y'' = (y')'. - Đạo hàm cấp 3, ký hiệu
y'''hoặcf'''(x), là đạo hàm của đạo hàm cấp 2:y''' = (y'')'. - Đạo hàm cấp n, ký hiệu
y⁽ⁿ⁾hoặcf⁽ⁿ⁾(x), là đạo hàm của đạo hàm cấpn-1:y⁽ⁿ⁾ = (y⁽ⁿ⁻¹⁾)'.
2. Vi phân
Vi phân của hàm số y = f(x) tại điểm x ứng với số gia Δx được ký hiệu là dy hoặc df(x), xác định bởi công thức:dy = y'.Δx hoặc df(x) = f'(x).dx (với dx = Δx).
Vi phân giúp chúng ta xấp xỉ giá trị của hàm số tại một điểm lân cận: f(x₀ + Δx) ≈ f(x₀) + f'(x₀).Δx.
IV. Bài Tập Vận Dụng
Bài tập 1: Tính đạo hàm của hàm số y = (x² + 2x) / (x - 1).
Lời giải:
Áp dụng quy tắc đạo hàm của một thương (u/v)' = (u'.v - u.v') / v²:
u = x² + 2x=>u' = 2x + 2v = x - 1=>v' = 1y' = [(2x + 2)(x - 1) - (x² + 2x).1] / (x - 1)²y' = (2x² - 2x + 2x - 2 - x² - 2x) / (x - 1)²y' = (x² - 2x - 2) / (x - 1)²
Bài tập 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = x³ - 3x + 1 tại điểm có hoành độ x₀ = 2.
Lời giải:
- Hoành độ tiếp điểm
x₀ = 2. - Tung độ tiếp điểm
y₀ = 2³ - 3(2) + 1 = 8 - 6 + 1 = 3. Vậy tiếp điểm làM(2, 3). - Tính đạo hàm:
y' = 3x² - 3. - Hệ số góc của tiếp tuyến tại
x₀ = 2làk = y'(2) = 3(2)² - 3 = 12 - 3 = 9. - Phương trình tiếp tuyến là:
y - 3 = 9(x - 2)<=>y = 9x - 18 + 3<=>y = 9x - 15.
Kết Luận
Trên đây là toàn bộ hệ thống lý thuyết và các dạng bài tập cốt lõi của chuyên đề đạo hàm lớp 11. Việc hiểu sâu định nghĩa, thuộc lòng bảng đạo hàm và vận dụng thành thạo các quy tắc tính toán là chìa khóa để bạn làm chủ phần kiến thức này. Đặc biệt, hãy chú trọng vào ứng dụng viết phương trình tiếp tuyến, vì đây là dạng bài thường xuyên xuất hiện trong các kỳ thi.
Hy vọng bài viết này đã giúp bạn hệ thống hóa kiến thức một cách hiệu quả. Hãy chăm chỉ luyện tập thêm các dạng bài tập đa dạng để củng cố kỹ năng và nắm vững phần kiến thức quan trọng này nhé
