Hướng Dẫn Chi Tiết Cách Tìm Thiết Diện Hình Chóp

Thiết diện của hình chóp và một mặt phẳng là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt là trong chương trình Toán lớp 11. Hiểu rõ cách xác định thiết diện sẽ giúp các bạn học sinh giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp luận và các ví dụ minh họa chi tiết để bạn đọc có thể nắm vững kiến thức này.

I. Phương Pháp Xác Định Thiết Diện Hình Chóp

Thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng (P) là một đa giác, được giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt của hình chóp. Để xác định thiết diện, chúng ta sẽ tuân theo các bước có hệ thống sau:

1. Xác định giao tuyến đầu tiên: Bắt đầu bằng việc tìm giao tuyến của mặt phẳng (P) với một mặt bất kỳ của hình chóp. Giao tuyến này có thể là giao tuyến với một mặt bên hoặc một mặt đáy, hoặc thậm chí là một mặt phẳng trung gian nếu cần thiết. Điểm chung có sẵn thường là điểm khởi đầu thuận lợi.

2. Tìm các điểm chung mới: Từ giao tuyến đầu tiên đã xác định, chúng ta tiếp tục tìm các điểm chung mới của mặt phẳng (P) với các mặt còn lại của hình chóp. Quá trình này thường bao gồm việc cho giao tuyến đã có cắt các cạnh của mặt hình chóp để tạo ra các điểm mới.

3. Xác định các giao tuyến tiếp theo: Sử dụng các điểm chung mới tìm được, chúng ta sẽ xác định các giao tuyến của mặt phẳng (P) với các mặt khác của hình chóp. Mỗi giao tuyến mới này sẽ nối liền hai điểm chung đã xác định.

4. Hoàn thiện thiết diện: Lặp lại các bước trên cho đến khi các giao tuyến tạo thành một hình khép kín. Đa giác khép kín này chính là thiết diện cần tìm.

Lưu ý quan trọng: Thiết diện của một mặt phẳng với hình chóp tứ giác (có 4 cạnh bên và 4 mặt bên) có tối đa 5 cạnh. Do đó, thiết diện không thể là hình lục giác (6 cạnh).

II. Ví Dụ Minh Họa

Dưới đây là các ví dụ minh họa cách áp dụng phương pháp trên vào việc giải các bài tập cụ thể:

Ví dụ 1: Cho ABCD là một tứ giác lồi và điểm S không thuộc mp(ABCD). Hình nào sau đây không thể là thiết diện của hình chóp S.ABCD?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Ngũ giác
D. Lục giác

• Lời giải: Hình chóp S.ABCD có 5 mặt. Thiết diện của mặt phẳng với hình chóp có tối đa 5 cạnh. Do đó, thiết diện không thể là lục giác. Đáp án là D.

Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M nằm trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình nào?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình bình hành
D. Ngũ giác

• Lời giải:
  • Ta có điểm A và D thuộc mặt phẳng (ABCD) và mặt phẳng (ADM).
  • Điểm M thuộc cạnh SB, do đó M thuộc mặt phẳng (SBC) và (SAB).
  • Giao tuyến của (ADM) với (SAD) là AD.
  • Trong mặt phẳng (SBC), gọi K là giao điểm của DM với BC. Tuy nhiên, cách này không trực quan. Ta tìm giao điểm của DM với AC.
  • Xét mặt phẳng (SBD), gọi O là giao điểm của AC và BD.
  • Ta cần tìm giao tuyến của mp(ADM) với các mặt của hình chóp.
    • (ADM) ∩ (SAB) = AM
    • (ADM) ∩ (SAD) = AD
    • (ADM) ∩ (ABCD) = AD (đã có điểm A, D)
    • (ADM) ∩ (SBC): Gọi K là giao điểm của DM với BC. Khi đó, (ADM) ∩ (SBC) = MK. Tuy nhiên, M nằm trên SB, nên K không nhất thiết phải là giao điểm của DM và BC.
  • Cách khác: Tìm giao điểm của DM với AC (nếu có). Trong trường hợp này, ta cần tìm giao tuyến của (ADM) với mặt phẳng (SBC).
  • Ta gọi H là giao điểm của DM với AC. Tuy nhiên, DM không nhất thiết cắt AC.
  • Hãy xem xét các điểm giao nhau: A và D thuộc đáy. M thuộc SB.
  • Trong mặt phẳng (SBD), gọi K là giao điểm của DM và SO.
  • Trong mặt phẳng (SAC), gọi L là giao điểm của AK và SC.
  • Khi đó, giao tuyến của (ADM) với các mặt là:
    • (ADM) ∩ (SAB) = AM
    • (ADM) ∩ (SAD) = AD
    • (ADM) ∩ (SBC) = MK (với K là giao điểm của DM và BC – cách này sai).
  • Cách chính xác:
    • Ta có A, D thuộc mp(ABCD).
    • M thuộc SB.
    • Xét mp(SBD): gọi K là giao điểm của DM và SO.
    • Xét mp(SAC): gọi L là giao điểm của AK và SC.
    • Vậy giao tuyến của (ADM) với các mặt là:
      • (ADM) ∩ (SAD) = AD
      • (ADM) ∩ (SAB) = AM
      • (ADM) ∩ (SBC) = ML (với L là giao điểm của AK và SC)
      • (ADM) ∩ (SDC) = DL
    • Thiết diện là tứ giác ADML. Tuy nhiên, cách giải trong bài gốc là khác.
  • Theo lời giải gốc: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi H là giao điểm của SO và DM. Gọi K là giao điểm của AH và SC. Ta tìm giao tuyến của mp (ADM) với các mặt của hình chóp:
    • (ADM) ∩ (SAD) = AD
    • (ADM) ∩ (ABCD) = AD
    • (ADM) ∩ (SAB) = AM
    • (ADM) ∩ (SDC) = DH (lỗi, D không thuộc (ADM))
    • (ADM) ∩ (SBC) = MK (với K là giao điểm của AH và SC)
  • Lời giải đúng theo hình ảnh:
    • Trong mp(ABCD), gọi E là giao điểm của AD và BC (nếu có).
    • Trong mp(SBC), gọi K là giao điểm của DM với BC. (Điều này không đúng vì DM không nhất thiết cắt BC).
    • Ta xét giao tuyến của mp(ADM) với các mặt của hình chóp:
      • (ADM) ∩ (SAD) = AD
      • (ADM) ∩ (SAB) = AM
      • (ADM) ∩ (ABCD) = AD
      • (ADM) ∩ (SDC) = DM (không đúng)
      • (ADM) ∩ (SBC) = MK (với K là giao điểm của DM và BC) – Cái này sai.
    • Xem lại hình 1: Hình 1 cho thấy DM cắt BC tại K. Điều này chỉ đúng nếu AD // BC. Nhưng ABCD là hình bình hành.
    • Lời giải của bài viết: Gọi O là giao điểm của AC và BD. Gọi H là giao điểm của SO và DM. Gọi K là giao điểm của AH và SC. Ta tìm giao tuyến của mp (ADM) với các mặt của hình chóp: (ADM) ∩ (SAD) = AD, (ADM) ∩ (SAB) = AM, (ADM) ∩ (SBC) = MK, (ADM) ∩ (SDC) = DK. Thiết diện là tứ giác ADKM.
    • Lý do MK và DK là giao tuyến: Vì M ∈ SB, K ∈ SC, nên MK là đoạn thẳng thuộc mp(SBC) và mp(ADM). Tương tự DK thuộc mp(SDC) và mp(ADM).
    • Tuy nhiên, điểm H là giao điểm của SO và DM. Điều này ngụ ý DM nằm trong mp(SBD). Và AK là giao điểm của AH và SC, ngụ ý AK nằm trong mp(SAC).
    • Thiết diện là tứ giác ADKM. Đáp án là B.

Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?
A. Tam giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành

• Lời giải:
  • Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD. Nếu AB // CD thì đây là hình bình hành, không phải hình thang. Vậy ta tìm giao điểm của AB và DC mở rộng, hoặc AB và BC, AB và AD.
  • Xem hình 1: Hình 1 cho thấy E là giao điểm của AB và CD. Điều này chỉ xảy ra nếu AB và CD cắt nhau, trái với giả thiết ABCD là hình thang (có ít nhất một cặp cạnh song song). Giả sử AB và CD là hai cạnh không song song, và AD // BC là hai đáy. Nếu AD là đáy lớn, thì AB và CD là hai cạnh bên. AB và CD sẽ cắt nhau tại một điểm E nằm ngoài mặt phẳng đáy (nếu xét theo hướng kéo dài).
  • Lời giải gốc: Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E = AB ∩ CD. Điều này ngụ ý AB và CD cắt nhau. Nhưng đề bài cho ABCD là hình thang với AD là đáy lớn. Vậy AB và CD không thể cắt nhau.
  • Sửa lại giả thiết: Giả sử ABCD là hình thang với AD // BC. Và AB, CD là hai cạnh bên cắt nhau tại E.
  • Lời giải đúng theo hình:
    • Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD. (Giả sử AB và CD cắt nhau).
    • Trong mặt phẳng (SCD), gọi Q = SC ∩ EP. (Điều này sai, vì P ∈ SD).
    • Lời giải đúng theo hình:
      • Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD (nếu có). Tuy nhiên, với đáy là hình thang AD đáy lớn, AB và CD là cạnh bên, chúng sẽ cắt nhau tại một điểm E.
      • Trong mặt phẳng (SCD), gọi Q là giao điểm của EP và SC. (P ∈ SD, nên EP nằm trong mặt phẳng (SDC)).
      • Ta có E ∈ AB nên EP ⊂ (ABP). Do đó Q ∈ (ABP).
      • Giao tuyến của mp (PAB) với các mặt của hình chóp:
        • (PAB) ∩ (SAB) = AB
        • (PAB) ∩ (SAD) = AP
        • (PAB) ∩ (SBC) = BQ (với Q là giao điểm của EP và SC).
        • (PAB) ∩ (SCD) = PQ
      • Vậy thiết diện là tứ giác ABQP. Đáp án B.

Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là hình gì?
A. Ngũ giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành

• Lời giải:
  • Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F và G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD. (MN là đường trung bình của tam giác ABC nếu ABCD là hình bình hành. Ở đây là hình thang).
  • MN nối trung điểm hai cạnh AB, BC. Nếu ABCD là hình bình hành thì MN // AC.
  • Xem hình 2, 3.
  • Trong mặt phẳng (ABCD), gọi F = MN ∩ AD và G = MN ∩ CD. (Điều này không đúng, MN không nhất thiết cắt AD và CD).
  • Lời giải đúng:
    • Trong mp(ABCD), xét đường thẳng MN. MN nối trung điểm AB và BC.
    • Trong mp(ABCD), gọi E là giao điểm của MN và AD, F là giao điểm của MN và CD. (Giả định MN cắt AD và CD).
    • Trong mp(SAD), gọi H = FP ∩ SA.
    • Trong mp(SCD), gọi K = GP ∩ SC.
    • Giao tuyến của mp(MNP) với các mặt:
      • (MNP) ∩ (SAB) = MH (nếu H ∈ SA)
      • (MNP) ∩ (ABCD) = MN (đã có M, N)
      • (MNP) ∩ (SBC) = NK
      • (MNP) ∩ (SCD) = NP (nếu P ∈ SD)
      • (MNP) ∩ (SAD) = PH
    • Lời giải gốc: Gọi F và G lần lượt là các giao điểm của MN với AD và CD. (Đây là giả định sai).
    • Lời giải đúng theo hình 2, 3:
      • Trong mp(ABCD), MN nối trung điểm AB, BC. MN // AC.
      • Ta cần tìm giao điểm của MN với AD và CD.
      • Trong mp(SAD), gọi H = FP ∩ SA.
      • Trong mp(SCD), gọi K = GP ∩ SC.
      • Giao tuyến của mp(MNP) với các mặt:
        • (MNP) ∩ (SAB) = MH
        • (MNP) ∩ (ABCD) = MN
        • (MNP) ∩ (SBC) = NK
        • (MNP) ∩ (SCD) = KP
        • (MNP) ∩ (SAD) = PH
      • Thiết diện là ngũ giác HMNKP. Đáp án A.

Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD; gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là:
A. Tứ giác HKMN với N thuộc AD
B. Hình thang HKMN với N thuộc AD và HK // MN
C. Tam giác HKL với L là giao điểm của KM và BD
D. Tam giác HKT với T là giao điểm của HM và AD

• Lời giải:
  • Trong mặt phẳng (BCD), KM cắt BD tại L. (Do M nằm ngoài CD, KM sẽ cắt BD).
  • Ta có:
    • (HKM) ∩ (ABC) = HK
    • (HKM) ∩ (BCD) = KL (do K, L ∈ (HKM) và K, L ∈ (BCD))
    • (HKM) ∩ (ABD) = HL (do H, L ∈ (HKM) và H, L ∈ (ABD))
  • Vậy thiết diện là tam giác HKL. Đáp án C.

III. Bài Tập Trắc Nghiệm

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng (α) tuỳ ý với hình chóp không thể là:
A. Lục giác
B. Ngũ giác
C. Tứ giác
D. Tam giác.

• Lời giải: Hình chóp tứ giác có 5 mặt. Thiết diện có tối đa 5 cạnh. Vậy đáp án là A.

Câu 2: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E; F lần lượt trên đoạn SA; SB và điểm G trọng tâm tam giác ABC. Gọi H là giao điểm của EF và AB; J là giao điểm của HG và BC. Tìm mệnh đề đúng?
A. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFG) là tứ giác EFIG
B. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFJ) là tứ giác EFJH
C. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (GJF) là tứ giác EFJI trong đó I là giao điểm của IH và AC
D. Tất cả sai

• Lời giải:
  • Ta có E, F ∈ (EFG). H = EF ∩ AB, nên H ∈ (EFG).
  • G ∈ (EFG). J là giao điểm của HG và BC, nên J ∈ (EFG).
  • Vậy các điểm E, F, G, J đều thuộc mặt phẳng (EFG).
  • Xét các giao tuyến:
    • (EFG) ∩ (SAB) = EF
    • (EFG) ∩ (ABC) = GJ
    • (EFG) ∩ (SBC) = FJ
    • (EFG) ∩ (SAC) = EI (với I = HJ ∩ AC).
  • Thiết diện là tứ giác EFJI. Đáp án C.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Điểm A’ nằm trên cạnh SC. Thiết diện của hình chóp với mp (ABA’) là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6

• Lời giải:
  • Ta có A, B thuộc mp(ABCD). A’ thuộc SC.
  • Giao tuyến của (ABA’) với (SBC) là BA’.
  • Giao tuyến của (ABA’) với (SCD) là A’M (với M = IA’ ∩ SD, I là giao điểm của SO và BM).
  • Lời giải gốc: Gọi M = IA’ ∩ SD. Có (ABA’) ∩ (SCD) = A’M. (ABA’) ∩ (SAD) = AM. (ABA’) ∩ (ABCD) = AB. (ABA’) ∩ (SBC) = BA’. Thiết diện là tứ giác ABA’M.
  • Đáp án B.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là:
A. Tam giác IBC
B. Hình thang IJCB (J là trung điểm SD)
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB)
D. Tứ giác IBCD

• Lời giải:
  • Trong mặt phẳng (SAC), gọi G là giao điểm của CI và SO.
  • Trong mặt phẳng (SBD), gọi J = BG ∩ SD.
  • Giao tuyến của (IBC) với các mặt:
    • (IBC) ∩ (SBC) = IBC
    • (IBC) ∩ (ABCD) = BC
    • (IBC) ∩ (SAB) = IB
    • (IBC) ∩ (SCD) = JC
  • Vì ABCD là hình bình hành, AB // CD và BC // AD.
  • Trong tam giác SAC, I là trung điểm SA. G là giao điểm của CI và SO. G không nhất thiết là trọng tâm.
  • Lời giải gốc: Gọi O là giao điểm của AC và BD, G là giao điểm của CI và SO. Xét tam giác SAC có I là trung điểm SA. Khi đó, G là trọng tâm tam giác SAC. Suy ra G là trọng tâm tam giác SBD. Gọi J = BG ∩ SD. Khi đó J là trung điểm SD. Thiết diện là hình thang IJCB.
  • Lập luận G là trọng tâm tam giác SAC từ việc CI cắt SO là sai.
  • Cách đúng:
    • Trong mặt phẳng (SAC), gọi G là giao điểm của CI và SO.
    • Trong mặt phẳng (SBD), gọi J là giao điểm của BG và SD.
    • Các giao tuyến của (IBC) với các mặt:
      • (IBC) ∩ (SBC) = BC
      • (IBC) ∩ (ABCD) = BC
      • (IBC) ∩ (SAB) = IB
      • (IBC) ∩ (SCD) = JC
    • Do ABCD là hình bình hành nên AB // CD.
    • Ta cần chứng minh IJ // BC.
    • Trong tam giác SAC, CI cắt SO tại G.
    • Trong tam giác SBD, BG cắt SD tại J.
    • Nếu G là trọng tâm SAC, thì G cũng là trọng tâm SBD. Khi đó BG đi qua trung điểm SD, tức J là trung điểm SD. Và IJ // BC.
    • Cách chứng minh G là trọng tâm SAC: CI là trung tuyến nếu C là đỉnh và I là trung điểm SA. Tuy nhiên, I là trung điểm SA, không phải trung điểm cạnh đối diện.
  • Kiểm tra lại đề bài: Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC).
  • Ta có B, C thuộc đáy. I thuộc SA.
  • Trong mặt phẳng (SAB), gọi J là giao điểm của BI và SA. (J phải là I).
  • Trong mặt phẳng (SBC), giao tuyến là BC.
  • Trong mặt phẳng (SCD), gọi K là giao điểm của CI và SD.
  • Trong mặt phẳng (SAD), gọi L là giao điểm của BI và AD.
  • Thiết diện là tứ giác IBCK (với K là giao điểm của CI và SD).
  • Lời giải gốc cho rằng J là trung điểm SD và IJCB là hình thang. Điều này đúng nếu BI // SC, điều này không xảy ra.
  • Xem lại Hình 16: Hình 16 cho thấy J là trung điểm SD và IJCB là hình thang. Điều này đúng khi I là trung điểm SA và J là trung điểm SD. Thiết diện là hình thang IJCB.
  • Đáp án B.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD và SA. Tìm mệnh đề đúng về thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)?
A. Thiết diện là tam giác
B. Thiết diện là tứ giác
C. Thiết diện là ngũ giác
D. Thiết diện là tứ giác hoặc ngũ giác

• Lời giải:
  • Trong mp(ABCD), MN nối trung điểm BC, CD. MN // BD.
  • Trong mp(SBD), gọi K là giao điểm của P (trung điểm SA) với SB. (Không có K).
  • Trong mp(SBD), gọi H = PK ∩ SB.
  • Lời giải gốc: Trong mp(ABCD), gọi E là giao điểm của MN và AD, F là giao điểm của MN và AB. (Sai, MN // BD).
  • Cách đúng:
    • Trong mp(ABCD), MN nối trung điểm BC, CD. MN // BD.
    • Trong mp(SBD), gọi H là giao điểm của PK và SB. (P là trung điểm SA).
    • Trong mp(SAB), gọi K là giao điểm của PH và SB.
    • Trong mp(SAD), gọi L là giao điểm của PE và SD.
    • Giao tuyến của (MNP) với các mặt:
      • (MNP) ∩ (ABCD) = MN
      • (MNP) ∩ (SCD) = NH
      • (MNP) ∩ (SAD) = PE
      • (MNP) ∩ (SAB) = PK (với K là giao điểm của PH và SB)
      • (MNP) ∩ (SBC) = MH
    • Thiết diện là ngũ giác MNHKP. Đáp án C.

IV. Bài Tập Tự Luyện

1. Bài 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là tứ giác ADKM (với K là giao điểm của DM và SC).
2. Bài 2: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là tứ giác ABQP (với Q là giao điểm của EP và SC, E là giao điểm của AB và CD).
3. Bài 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là ngũ giác HMNKP (với H, K là các giao điểm với các cạnh bên SA, SC).
4. Bài 4: Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.
   a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
   b. DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
   c. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN).
   • Trong mặt phẳng (SBD), gọi I là giao điểm của BN và SO.
   • Trong mặt phẳng (SAC), gọi J là giao điểm của SI và AC.
   • Giao tuyến của (BCN) với các mặt:
     • (BCN) ∩ (SBC) = BC
     • (BCN) ∩ (ABCD) = BC
     • (BCN) ∩ (SCD) = CN
     • (BCN) ∩ (SAB) = BI
     • (BCN) ∩ (SAC) = IJ
   • Thiết diện là tứ giác BCIJ.
5. Bài 5: Cho tứ diện ABCD và mp (a) qua M, N, P.
   • MN không song song AB. Trong mp(ABC), gọi K = MN ∩ AB.
   • NP không song song CD. Trong mp(BCD), gọi L = NP ∩ CD.
   • Trong mp(ACD), gọi Q = MP ∩ AD.
   • Thiết diện là tứ giác MNLQ.