Thiết diện là một khái niệm quan trọng trong hình học không gian, đặc biệt khi nghiên cứu về các khối đa diện như hình chóp. Việc xác định thiết diện của hình chóp cắt bởi một mặt phẳng đòi hỏi sự hiểu biết về cách giao tuyến hình thành và các tính chất của nó. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết cùng các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện để giúp bạn nắm vững kỹ năng này.
TÓM TẮT
I. Phương pháp xác định thiết diện hình chóp
Thiết diện của hình chóp với một mặt phẳng là đa giác được giới hạn bởi các giao tuyến của mặt phẳng đó với các mặt của hình chóp. Để xác định thiết diện, chúng ta thực hiện theo các bước sau:
- Tìm các giao điểm: Xác định lần lượt các giao điểm của mặt phẳng thiết diện với các cạnh, các mặt của hình chóp.
- Xác định giao tuyến: Dựa vào các giao điểm đã tìm được, xác định các giao tuyến của mặt phẳng thiết diện với các mặt của hình chóp.
- Hình thành đa giác thiết diện: Các giao tuyến này sẽ tạo thành một đa giác khép kín, đó chính là thiết diện cần tìm.
Quy trình chi tiết:
- Bước 1: Từ một điểm chung đã biết (ví dụ: đỉnh của hình chóp, một điểm thuộc cạnh hoặc mặt của hình chóp), xác định giao tuyến đầu tiên của mặt phẳng thiết diện với một mặt của hình chóp. Nếu điểm chung không thuộc mặt nào, ta tìm giao tuyến với một mặt trung gian.
- Bước 2: Cho giao tuyến vừa tìm được cắt các cạnh của mặt hình chóp đó. Các điểm giao mới này sẽ là những điểm chung của mặt phẳng thiết diện với các mặt khác của hình chóp.
- Bước 3: Từ các điểm chung mới, tiếp tục xác định các giao tuyến với các mặt còn lại của hình chóp.
- Bước 4: Lặp lại quá trình cho đến khi các giao tuyến tạo thành một đa giác khép kín. Đa giác này chính là thiết diện cần tìm.
II. Ví dụ minh họa
Dưới đây là một số ví dụ minh họa cách áp dụng phương pháp trên để tìm thiết diện của hình chóp trong các trường hợp cụ thể.
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M nằm trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
- Phân tích: Ta cần tìm giao tuyến của mặt phẳng (ADM) với các mặt của hình chóp S.ABCD.
- Giải:
- Giao tuyến của (ADM) với mặt đáy (ABCD) là đường thẳng AD.
- Điểm M thuộc cạnh SB. Ta cần tìm giao điểm của đường thẳng DM với mặt phẳng (SAB) và mặt phẳng (SBC).
- Trong mặt phẳng (SBD), gọi H là giao điểm của DM và SO (O là tâm hình bình hành). Tuy nhiên, cách này phức tạp hơn.
- Ta xét mặt phẳng (SBC). Đường thẳng DM không cắt mặt phẳng này. Thay vào đó, ta tìm giao điểm của AM với mặt phẳng (SBC) và DM với mặt phẳng (SBC).
- Xét mặt phẳng (SAB), đường thẳng AM nằm trong mặt phẳng này.
- Xét mặt phẳng (SBC), đường thẳng BC không cắt AD.
- Ta xét giao tuyến của (ADM) với các mặt của hình chóp:
- (ADM) ∩ (SAD) = AD
- (ADM) ∩ (SAB) = AM (vì A ∈ (ADM) và A ∈ (SAB), M ∈ SB ⊂ (SAB) nên AM là giao tuyến)
- (ADM) ∩ (SDC) = DK (với K là giao điểm của DM và SC). Tuy nhiên, cách này không đúng vì M không thuộc SC.
- Cách tiếp cận đúng là:
- Trong mặt phẳng (SBD), gọi H là giao điểm của DM và SO.
- Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AH và SC.
- Giao tuyến của mặt phẳng (ADM) với các mặt của hình chóp là:
- (ADM) ∩ (SAD) = AD
- (ADM) ∩ (SAB) = AM
- (ADM) ∩ (SDC) = DK (với K là giao điểm của DM và SC).
- (ADM) ∩ (SCB) = MK (vì M là giao điểm của mặt phẳng (ADM) với SB, K là giao điểm của mặt phẳng (ADM) với SC).
- Như vậy, thiết diện là tứ giác ADKM. Tuy nhiên, ví dụ gốc cho đáp án B. Tứ giác.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Ví dụ 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
- Lời giải: Chọn B (Tứ giác).
- (ADM) ∩ (SAD) = AD
- (ADM) ∩ (SAB) = AM
- Trong mặt phẳng (SBD), gọi H là giao điểm của DM và SO. (Cách giải gốc có vẻ sai ở đây, nên tìm giao điểm của DM với mặt phẳng (SBC) hoặc (SCB)).
- Xét mặt phẳng (SBC). Ta cần tìm giao điểm của DM với mặt phẳng này, nhưng DM không cắt SC và BC.
- Cách giải gốc: “Trong mp(SBD) gọi H là giao điểm của SO và DM”. Điều này không đúng vì H là giao điểm của DM và SO, chứ không phải DM và SO.
- Cách giải đúng là:
- Trong mặt phẳng (SBD), gọi H là giao điểm của DM và SO.
- Trong mặt phẳng (SAC), gọi K là giao điểm của AH và SC.
- Giao tuyến của mp (ADM) với các mặt của hình chóp là:
- (ADM) ∩ (SAD) = AD
- (ADM) ∩ (SAB) = AM
- (ADM) ∩ (SDC) = DK (với K là giao điểm của DM và SC) – Cách này sai vì K là giao điểm của DM với SC.
- (ADM) ∩ (SCB) = MK (với K là giao điểm của DM và SC) – Cách này cũng sai.
- Giao tuyến đúng là:
- (ADM) ∩ (SAD) = AD
- (ADM) ∩ (SAB) = AM
- Trong mặt phẳng (SBD), DM cắt SO tại H.
- Trong mặt phẳng (SAC), AH cắt SC tại K.
- Vậy giao tuyến của (ADM) với (SBC) là MK.
- Thiết diện là tứ giác ADKM.
Ví dụ 3: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?
- Lời giải: Chọn B (Tứ giác).
- Trong mặt phẳng (ABCD), gọi E là giao điểm của AB và CD. (Nếu AB // CD thì không có giao điểm này). Giả sử ABCD là hình thang có AD // BC hoặc AB // DC. Ở đây đề bài cho AD là đáy lớn, nên có thể hiểu là AD // BC.
- Nếu AD // BC, thì AB và DC không song song.
- Trong mặt phẳng (SCD), gọi Q là giao điểm của EP và SC.
- Giao tuyến của (PAB) với các mặt:
- (PAB) ∩ (SAB) = AB
- (PAB) ∩ (SAD) = AP
- (PAB) ∩ (ABCD) = AB
- (PAB) ∩ (SBC) = BQ (với Q là giao điểm của EP và BC).
- (PAB) ∩ (SCD) = PQ (với Q là giao điểm của EP và SC).
- Thiết diện là tứ giác ABQP.
Ví dụ 4: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP) là hình gì?
- Lời giải: Chọn A (Ngũ giác).
- Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt AD tại F và cắt CD tại G.
- Trong mặt phẳng (SAD), FP cắt SA tại H.
- Trong mặt phẳng (SCD), PG cắt SC tại K.
- Các giao tuyến là: HM, MN, NK, KP, PH.
- Thiết diện là ngũ giác HMNKP.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Ví dụ 5: Cho tứ diện ABCD; gọi H và K lần lượt là trung điểm của AB và BC. Trên đường thẳng CD lấy điểm M nằm ngoài đoạn CD. Thiết diện của tứ diện cắt bởi mặt phẳng (HKM) là:
- Lời giải: Chọn C (Tam giác HKL với L là giao điểm của KM và BD).
- Trong mặt phẳng (BCD), gọi L là giao điểm của KM và BD.
- Giao tuyến của (HKM) với các mặt:
- (HKM) ∩ (ABC) = HK
- (HKM) ∩ (BCD) = KL
- (HKM) ∩ (ABD) = HL
- Thiết diện là tam giác HKL.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Ví dụ 6: Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I là ba điểm lấy trên AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNI) là?
- Lời giải: Chọn C (Ngũ giác).
- Trong mặt phẳng (ABCD), gọi J = B ∩ MN, K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC. (Cách xác định E, K, F trong ví dụ gốc sai).
- Cách xác định đúng:
- Trong mặt phẳng (ABCD), MN cắt AD tại E, cắt CD tại F.
- Trong mặt phẳng (SBD), gọi Q là giao điểm của IP và SB.
- Trong mặt phẳng (SAB), gọi R là giao điểm của EQ và SA.
- Trong mặt phẳng (SBC), gọi P’ = FQ ∩ SC.
- Vậy các giao tuyến là: ME, EN, NH, HQ, QE. Thiết diện là ngũ giác MNHQE.
- Theo cách giải gốc: Gọi J = B ∩ MN, K = MN ∩ AB, H = MN ∩ BC.
- Trong (SBD), gọi Q = IJ ∩ SB.
- Trong (SAB), gọi R = KQ ∩ SA.
- Trong (SBC), gọi P’ = HQ ∩ SC.
- Thiết diện là ngũ giác MNKQP’. Cách giải này cũng có vẻ phức tạp.
- Ta cần tìm giao tuyến của (MNI) với các mặt:
- (MNI) ∩ (SAD) = ME (với E = MN ∩ AD)
- (MNI) ∩ (SCD) = NF (với F = MN ∩ CD)
- (MNI) ∩ (ABCD) = MN
- Trong (SBD), gọi Q là giao điểm của PI và SB.
- Trong (SAB), gọi R là giao điểm của EQ và SA.
- Trong (SBC), gọi T là giao điểm của FQ và SC.
- Thiết diện là ngũ giác MENQT.
Ví dụ 7: Cho hình chóp S.ABCD hình thang; đáy không là hình thang. Gọi A’, B’, C’ là ba điểm lấy trên các cạnh SA, SB, SC. Thiết diện của hình chóp khi cắt bởi mặt phẳng (A’B’C’) là?
- Lời giải: Chọn D (Tứ giác hoặc ngũ giác).
- Nếu A’B’ // AB và B’C’ // BC thì thiết diện là hình bình hành A’B’C’D’ (với D’ là giao điểm của A’C’ và SD).
- Trường hợp tổng quát:
- Trong mặt phẳng (ABCD), gọi O = AC ∩ BD.
- Trong mặt phẳng (SAC), gọi O’ = A’C’ ∩ SO.
- Trong mặt phẳng (SBD), gọi D’ = B’O’ ∩ SD.
- Nếu D’ thuộc cạnh SD thì thiết diện là tứ giác A’B’C’D’.
- Nếu D’ không thuộc cạnh SD thì xét các trường hợp khác.
- Xét giao tuyến của (A’B’C’) với các mặt: A’B’, B’C’, C’A’.
- Cần tìm giao điểm của A’C’ với SD và A’B’ với SC.
Ví dụ 8: Cho tứ diện đều ABCD có cạnh bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Mặt phẳng (GCD) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
- Lời giải: Chọn B.
- Thiết diện là tam giác MCD, với M là trung điểm của AB.
- Tam giác MCD cân tại M.
- Diện tích tam giác MCD là $frac{1}{2} times CD times MH$, với H là trung điểm CD.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Ví dụ 9: Cho tứ diện đều ABCD có độ dài cạnh bằng 2a. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của AC; BC; gọi P là trọng tâm tam giác BCD. Mặt phẳng (MNP) cắt tứ diện theo một thiết diện có diện tích là:
- Lời giải: Chọn C.
- Thiết diện là tam giác MND.
- Tính độ dài các cạnh MN, ND, DM.
- Tính diện tích tam giác MND.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Ví dụ 10: Cho tứ diện ABCD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm AB và CD. Mặt phẳng (α) qua MN cắt AD tại P. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(α) là:
- Lời giải: Chọn A (Tứ giác).
- Trong mp(ABD), gọi I là giao điểm của MP và BD.
- Trong mp(BCD), gọi Q là giao điểm của IN và BC.
- Thiết diện là tứ giác MPNQ.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
III. Bài tập trắc nghiệm
Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD với đáy ABCD là tứ giác lồi. Thiết diện của mặt phẳng (α) tuỳ ý với hình chóp không thể là:
A. Lục giác
B. Ngũ giác
C. Tứ giác
D. Tam giác.
- Lời giải: Chọn A. Hình chóp tứ giác có 5 mặt, do đó thiết diện có tối đa 5 cạnh.
Câu 2: Cho tứ diện S.ABC. Lấy điểm E; F lần lượt trên đoạn SA; SB và điểm G trọng tâm giác ABC. Gọi H là giao điểm của EF và AB; J là giao điểm của HG và BC. Tìm mệnh đề đúng?
A. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFG) là tứ giác EFIG
B. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (EFJ) là tứ giác EFJH
C. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (GJF) là tứ giác EFJI trong đó I là giao điểm của IH và AC
D. Tất cả sai
- Lời giải: Chọn C. Ba điểm E, F, H thẳng hàng; ba điểm H, G, J thẳng hàng. Do đó, mặt phẳng (EFG), (EFJ), (GJF) là trùng nhau. Thiết diện là tứ giác EFJI, với I là giao điểm của HJ và AC.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Điểm A’ nằm trên cạnh SC. Thiết diện của hình chóp với mp (ABA’) là một đa giác có bao nhiêu cạnh?
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
- Lời giải: Chọn B (Tứ giác). Thiết diện là ABA’M, với M là giao điểm của AA’ và SD.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Câu 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I là trung điểm SA. Thiết diện của hình chóp S. ABCD cắt bởi mặt phẳng (IBC) là:
A. Tam giác IBC
B. Hình thang IJCB (J là trung điểm SD)
C. Hình thang IGBC (G là trung điểm SB)
D. Tứ giác IBCD
- Lời giải: Chọn B. Thiết diện là hình thang IJCB, với J là trung điểm SD.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là một hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P là ba điểm trên các cạnh AD, CD, SO. Thiết diện của hình chóp với mặt phẳng (MNP) là hình gì?
A. Ngũ giác
B. Tứ giác
C. Hình thang
D. Hình bình hành
- Lời giải: Chọn A (Ngũ giác). Thiết diện là ngũ giác MNHPK.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Câu 6: Cho tứ diện ABCD và điểm M thuộc AB và N thuộc CD; điểm G nằm trong tam giác BCD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp (MNG)?
A. Tam giác MHN với H là giao điểm của NG và BC
B. Tam giác IHN trong đó I là giao điểm của AC và HM
C. Tứ giác MHND với H là giao điểm của NG và BC.
D. Tất cả sai
- Lời giải: Chọn D. Thiết diện là tứ giác MHNK, với H là giao điểm của NG và BC, K là giao điểm của IN và AD.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
Câu 7: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành ABCD tâm O. Gọi M là trung điểm của SD. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi mp(BCM)?
A. Tam giác MBC
B. Tứ giác BCME trong đó E là giao điểm của CI và SA, I là giao điểm của SO và BM
C. Tứ giác BCMN trong đó N là giao điểm của BM và SA
D. Đáp án khác
- Lời giải: Chọn B. Thiết diện là tứ giác BCME.
Cách tìm thiết diện của hình chóp cực hay
IV. Bài tập tự luyện
- Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành và điểm M ở trên cạnh SB. Mặt phẳng (ADM) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?
- Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Thiết diện của hình chóp cắt bởi mặt phẳng (PAB) là hình gì?
- Cho hình chóp tứ giác S.ABCD, có đáy là hình thang với AD là đáy lớn và P là một điểm trên cạnh SD. Gọi M; N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB; BC. Tìm thiết diện của hình chóp cắt bởi (MNP)?
- Cho hình chóp S.ABCD, M là một điểm trên cạnh BC, N là một điểm trên cạnh SD.
a. Tìm giao điểm I của BN và (SAC) và giao điểm J của MN và (SAC).
b. DM cắt AC tại K. Chứng minh S, K, J thẳng hàng.
c. Xác định thiết diện của hình chóp S.ABCD với mặt phẳng (BCN). - Cho tứ diện ABCD. Trên các đoạn CA, CB, BD cho lần lượt lấy các điểm M, N, P sao cho MN không song song với AB, NP không song song với CD. Gọi (a) là mp xác định bởi ba điểm M, N, P nói trên. Tìm thiết diện tạo bởi (a) và tứ diện ABCD.
