Hai mặt phẳng song song là một khái niệm quan trọng trong chương “Đường thẳng và mặt phẳng trong không gian” của chương trình Toán lớp 11. Việc nắm vững phương pháp chứng minh hai mặt phẳng song song sẽ giúp các em học sinh giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan, từ đó củng cố kiến thức và đạt kết quả cao trong học tập. Bài viết này sẽ trình bày các phương pháp chứng minh cơ bản và cung cấp các ví dụ minh họa chi tiết.
TÓM TẮT
I. Phương Pháp Chứng Minh Hai Mặt Phẳng Song Song
Để chứng minh hai mặt phẳng song song, chúng ta có hai phương pháp chính:
- Sử dụng định nghĩa: Chứng minh trong mặt phẳng này có hai đường thẳng cắt nhau và cả hai đường thẳng đó đều song song với mặt phẳng kia.
- Sử dụng tính chất: Chứng minh hai mặt phẳng cùng song song với một mặt phẳng thứ ba.
Phương pháp 1: Hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia
Giả sử ta cần chứng minh mặt phẳng $(alpha)$ song song với mặt phẳng $(beta)$. Ta thực hiện các bước sau:
- Chọn mặt phẳng $(alpha)$.
- Tìm hai đường thẳng $a$ và $b$ nằm trong mặt phẳng $(alpha)$, đồng thời $a$ cắt $b$ tại một điểm.
- Chứng minh rằng $a // (beta)$ và $b // (beta)$.
- Kết luận $(alpha) // (beta)$.
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Phương pháp 2: Hai mặt phẳng cùng song song với mặt phẳng thứ ba
Giả sử ta cần chứng minh mặt phẳng $(alpha)$ song song với mặt phẳng $(beta)$. Ta thực hiện các bước sau:
- Tìm một mặt phẳng $(gamma)$ sao cho $(alpha) // (gamma)$ và $(beta) // (gamma)$.
- Nếu ta đã biết hoặc có thể chứng minh được $(alpha) // (gamma)$ và $(beta) // (gamma)$, thì suy ra $(alpha) // (beta)$.
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
II. Ví Dụ Minh Họa
Dưới đây là các ví dụ minh họa cho từng phương pháp, giúp các em hình dung rõ hơn về cách áp dụng:
Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, I lần lượt là trung điểm của SA, SD và AB. Khẳng định nào sau đây đúng?
A. (NOM) cắt (OPM)
B. (MON) // (SBC)
C. (PON) ∩ (MNP) = NP
D. (NMP) // (SBD)
Lời giải:
Ta có MN là đường trung bình của tam giác SAD, suy ra MN // AD.
OP là đường trung bình của tam giác ABC, suy ra OP // BC.
Vì ABCD là hình bình hành nên AD // BC.
Từ đó, MN // OP // AD. Điều này cho thấy bốn điểm M, N, O, P đồng phẳng.
Xét mặt phẳng (MON). Ta cần tìm mối quan hệ của mặt phẳng này với các mặt phẳng khác.
MN // AD và AD // BC, suy ra MN // BC.
ON là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra ON // SB.
Do MN // BC và ON // SB, với MN và ON cắt nhau tại N, suy ra mặt phẳng (MON) song song với mặt phẳng (SBC).
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, đáp án đúng là B. (MON) // (SBC).
Ví dụ 2: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Đường thẳng B’C song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (AHC’)
B. (AA’H)
C. (HAB)
D. (HA’C)
Lời giải:
Gọi M là trung điểm của AB. Khi đó, MH là đường trung bình của hình bình hành ABB’A’. Suy ra MH // BB’ và MH = BB’.
Do BB’ // CC’ và BB’ = CC’, ta có MH // CC’ và MH = CC’.
Suy ra tứ giác MHC’C là hình bình hành. Do đó, MC // HC’.
Mặt khác, vì M là trung điểm AB và H là trung điểm A’B’, ta có MB’ // AH (do AMB’H là hình bình hành).
Vậy, ta có hai đường thẳng MB’ và MC nằm trong mặt phẳng (B’MC) và chúng cắt nhau tại M. Đồng thời, MB’ // (AHC’) và MC // (AHC’).
Do đó, mặt phẳng (B’MC) song song với mặt phẳng (AHC’).
Vì B’C nằm trong mặt phẳng (B’MC), nên B’C // (AHC’).
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, đáp án đúng là A. (AHC’).
Ví dụ 3: Cho hình lăng trụ ABC. A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Mặt phẳng (AHC’) song song với đường thẳng nào sau đây?
A. CB’
B. BB’
C. BC
D. BA’
Lời giải:
Dựa trên phân tích của Ví dụ 2, ta đã chứng minh được (B’MC) // (AHC’).
Trong đó, B’C là một đường thẳng nằm trong mặt phẳng (B’MC).
Do đó, B’C // (AHC’).
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, đáp án đúng là A. CB’.
Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M và N lần lượt là trung điểm của SA và SD. Chọn mệnh đề sai?
A. OM // mp(SBC)
B. ON // mp(SAB)
C. (OMN) // (SBC)
D. (OMN) và (SBC) cắt nhau
Lời giải:
- Xét tam giác SAC, M và O lần lượt là trung điểm của SA và AC. Do đó, OM là đường trung bình của tam giác SAC, suy ra OM // SC. Vì SC nằm trong mặt phẳng (SBC), nên OM // mp(SBC). Mệnh đề A đúng.
- Xét tam giác SBD, N và O lần lượt là trung điểm của SD và BD. Do đó, ON là đường trung bình của tam giác SBD, suy ra ON // SB. Vì SB nằm trong mặt phẳng (SAB), nên ON // mp(SAB). Mệnh đề B đúng.
- Từ mệnh đề A và B, ta có hai đường thẳng OM và ON cắt nhau tại O, và OM // mp(SBC), ON // mp(SBC). Do đó, mặt phẳng (OMN) song song với mặt phẳng (SBC). Mệnh đề C đúng.
- Vì (OMN) // (SBC) nên chúng không thể cắt nhau. Mệnh đề D sai.
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, mệnh đề sai là D. (OMN) và (SBC) cắt nhau.
Ví dụ 5: Cho hình bình hành ABCD. Vẽ các tia Ax; By, Cz, Dt song song, cùng hướng nhau và không nằm trong mp (ABCD). Mp (α) cắt Ax;By, Cz, Dt lần lượt tại A’, B’,C’, D’. Khẳng định nào sau đây sai?
A. A’B’C’D’ là hình bình hành
B. mp(AA’B’B) // (DD’C’C)
C. AA’ = CC’ và BB’ = DD’
D. OO’ // AA’
Trong đó O là tâm hình bình hành ABCD , O’ là giao điểm của A’C’ và B’D’
Lời giải:
- Xét hình thang AA’C’C, O và O’ lần lượt là trung điểm của AC và A’C’. Do đó, OO’ là đường trung bình của hình thang AA’C’C, suy ra OO’ // AA’ và OO’ // CC’. Mệnh đề D đúng.
- Vì Ax // By // Cz // Dt, nên các mặt phẳng AA’B’B và DD’C’C là các hình bình hành (do các cạnh bên song song và bằng nhau theo tỉ lệ). Suy ra mp(AA’B’B) // mp(DD’C’C). Mệnh đề B đúng.
- Tứ giác A’B’C’D’ là hình bình hành vì nó được tạo bởi các giao tuyến của các mặt phẳng song song (AA’B’B và DD’C’C) với các mặt phẳng song song khác (ABB’A’ và ADD’A’ – điều này cần chứng minh thêm hoặc dựa vào tính chất của các tia song song). Tuy nhiên, dựa vào tính chất của các tia song song và các mặt phẳng tạo bởi chúng, ta có thể khẳng định A’B’C’D’ là hình bình hành. Mệnh đề A đúng.
- Xét hình thang AA’C’C, ta có AA’ và CC’ là các cạnh bên. Xét hình thang BB’D’D, ta có BB’ và DD’ là các cạnh bên. Do các tia Ax, By, Cz, Dt song song và cùng hướng, ta có tỉ lệ: AA’/OO’ = CC’/OO’ = BB’/OO’ = DD’/OO’. Điều này có nghĩa là AA’ = BB’ = CC’ = DD’. Do đó, mệnh đề C sai vì nó chỉ khẳng định AA’ = CC’ và BB’ = DD’, không bao quát hết. Thực tế, tất cả các đoạn thẳng này bằng nhau.
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, khẳng định sai là C. AA’ = CC’ và BB’ = DD’.
Ví dụ 6: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong hai mặt phẳng khác nhau. Tìm mệnh đề đúng?
A. (CBE) // (ADF)
B. (ADB) // (CEF)
C. (CDF) // (ABE)
D. Không có hai mặt phẳng nào song song
Lời giải:
- Do ABCD là hình vuông nên BC // AD.
- Do ABEF là hình vuông nên BE // AF.
- Xét hai mặt phẳng (CBE) và (ADF). Ta thấy BC nằm trong (CBE) và BC // AD (với AD nằm trong (ADF)). Tuy nhiên, điều này chưa đủ để kết luận hai mặt phẳng song song. Cần có hai đường thẳng cắt nhau trong mặt phẳng này song song với mặt phẳng kia.
- Xét lại: Ta có BC // AD. BC thuộc mp(CBE), AD thuộc mp(ADF).
- Ta có BE // AF. BE thuộc mp(CBE), AF thuộc mp(ADF).
- Vì BC // AD và BE // AF, mà BC cắt BE tại B, AD cắt AF tại A, nên hai mặt phẳng (CBE) và (ADF) song song với nhau.
Vậy, mệnh đề đúng là A. (CBE) // (ADF).
Ví dụ 7: Cho hình lăng trụ ABC.A1B1C1. Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (ABC) // (A1B1C1)
B. AA1 // (BCC1)
C. AB // (A1B1C1)
D. AA1BB1 là hình chữ nhật
Lời giải:
- Theo tính chất của hình lăng trụ, hai đáy (ABC) và (A1B1C1) song song với nhau. Mệnh đề A đúng.
- AA1 là cạnh bên của hình lăng trụ. AB là một đường thẳng nằm trên đáy (ABC). A1B1 là một đường thẳng nằm trên đáy (A1B1C1) và A1B1 // AB.
- Xét mp(A1B1C1). Ta cần xem xét đường thẳng AB có song song với mặt phẳng này không. Vì AB // A1B1 và A1B1 thuộc mp(A1B1C1), nên AB // mp(A1B1C1). Mệnh đề C đúng.
- Xét mặt bên AA1B1B. Đây là một hình bình hành theo định nghĩa của hình lăng trụ. Nó chỉ là hình chữ nhật khi hình lăng trụ là hình lăng trụ đứng. Tuy nhiên, đề bài không cho biết đó là lăng trụ đứng. Vì vậy, mệnh đề D có thể sai.
- Xét AA1 và mp(BCC1). AA1 không song song với bất kỳ đường nào trong mp(BCC1) nói chung. Tuy nhiên, nếu ta xem xét mối quan hệ giữa AA1 và các đường thẳng trong mp(BCC1), ta có thể thấy AA1 // BB’ (do AA1B1B là hình bình hành). Và BB’ nằm trong mp(BCC1). Vậy AA1 // mp(BCC1). Mệnh đề B đúng.
Dựa trên phân tích, mệnh đề D có thể sai nếu hình lăng trụ không phải là lăng trụ đứng.
Vậy, khẳng định sai là D. AA1BB1 là hình chữ nhật.
Ví dụ 8: Cho hình hộp ABCD.A1B1C1D1. Khẳng định nào dưới đây là sai?
A. ABCD là hình bình hành
B. Các đường thẳng A1C; AC1; DB1; D1B đồng quy
C. (ADD1A1) // (BCC1B1)
D. AD1CB là hình chữ nhật
Lời giải:
- Theo tính chất của hình hộp, các mặt đáy ABCD và A1B1C1D1 là hình bình hành. Mệnh đề A đúng.
- Các đường chéo của hình hộp (A1C, AC1, DB1, D1B) đồng quy tại tâm của hình hộp. Mệnh đề B đúng.
- Các mặt bên của hình hộp là các hình bình hành. Mặt (ADD1A1) và (BCC1B1) là hai mặt bên đối diện, do đó song song với nhau. Mệnh đề C đúng.
- Xét tứ giác AD1CB. Ta có AD1 và CB là các cạnh của hình hộp. Chúng không nhất thiết phải song song hay bằng nhau trong mọi trường hợp. AD1 và CB là hai đường chéo chéo nhau của các mặt bên. Do đó, AD1CB không phải lúc nào cũng là hình chữ nhật.
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, khẳng định sai là D. AD1CB là hình chữ nhật.
Ví dụ 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M ; P và Q lần lượt là trung điểm của AB ; CD và C’D’. Gọi N là trung điểm của AM. Tìm mệnh đề đúng?
A. (NPC’) // (ADC)
B. (MCC’) // (NPQ)
C. (PMC’) // (DNB’)
D. (MCC’) // (APQ)
Lời giải:
- Xét tứ giác AMCP: AM = MB = AB/2. CD = AB. P là trung điểm CD nên CP = PD = CD/2 = AB/2. Do AM // CP (cùng phương AB và CD) và AM = CP, nên AMCP là hình bình hành. Suy ra AP // MC.
- Xét hình bình hành CDD’C’: P và Q lần lượt là trung điểm của CD và C’D’. PQ là đường trung bình nên PQ // CC’ // DD’.
- Xét mặt phẳng (MCC’) và (APQ). Ta thấy MC thuộc (MCC’) và AP thuộc (APQ). Ta đã chứng minh MC // AP.
- Ta thấy CC’ thuộc (MCC’) và PQ thuộc (APQ). Ta đã chứng minh CC’ // PQ.
- Vì có hai cặp đường thẳng cắt nhau (MC và CC’) trong mặt phẳng (MCC’) song song với hai cặp đường thẳng cắt nhau (AP và PQ) trong mặt phẳng (APQ), nên (MCC’) // (APQ).
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, mệnh đề đúng là D. (MCC’) // (APQ).
Ví dụ 10: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi O và O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD và A’B’C’D’. Gọi G là giao điểm của CD’ và C’D. Tìm mệnh đề đúng?
A. (OAG) // (O’CC’)
B. (OBG) // (PAO’)
C. (ODG) // (AO’D’)
D. Tất cả sai
Lời giải:
- Xét tam giác CAD’, O là trung điểm AC và G là trung điểm CD’. Do đó, OG là đường trung bình của tam giác CAD’, suy ra OG // AD’.
- Ta biết O và O’ là tâm của hai hình bình hành đáy. Do đó, OD // O’D’ (do cùng phương với AC và A’C’ song song).
- Xét hai mặt phẳng (ODG) và (AO’D’). Ta thấy OD nằm trong (ODG) và O’D’ nằm trong (AO’D’), với OD // O’D’.
- Ta thấy OG nằm trong (ODG) và AD’ nằm trong (AO’D’). Ta đã chứng minh OG // AD’.
- Vì có hai cặp đường thẳng cắt nhau (OD và OG) trong mặt phẳng (ODG) song song với hai cặp đường thẳng cắt nhau (O’D’ và AD’) trong mặt phẳng (AO’D’), nên (ODG) // (AO’D’).
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Vậy, mệnh đề đúng là C. (ODG) // (AO’D’).
III. Bài Tập Trắc Nghiệm
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm giúp các em luyện tập:
Câu 1: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi H là trung điểm của A’B’. Đường thẳng B’C song song với mặt phẳng nào sau đây?
A. (AHC’)
B. (AA’H)
C. (HAB)
D. (HA’C’)
Lời giải:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Gọi K là giao điểm của B’C và BC’, gọi I là trung điểm của BA.
Ta chứng minh AH // B’I và IK // AC’. Từ đó suy ra (AHC’) // (B’CI). Vì B’C ⊂ (B’CI), nên B’C // mp(AHC’).
Chọn A.
Câu 2: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (AB’D’) song song với mặt phẳng nào trong các mặt phẳng sau đây?
A. (BCA’)
B. (BC’D)
C. (A’C’C)
D. (BDA’)
Lời giải:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Ta có BD // B’D’ (do BDD’B’ là hình bình hành).
Ta có AB’ // DC’ (do ABC’D’ là hình bình hành).
Vì hai cặp đường thẳng cắt nhau AB’ và BD nằm trong (AB’D’) song song với hai cặp đường thẳng cắt nhau DC’ và B’D’ nằm trong (BC’D), nên (AB’D’) // (BC’D).
Chọn B.
Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD. Gọi A’,B’,C’,D’ lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC và SD. Chọn mệnh đề sai?
A. A’B’ // (ABCD)
B. A’C’ // (ABCD)
C. A’C’ // BD
D. (ACD) // (A’B’C’)
Lời giải:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
- A’B’ là đường trung bình tam giác SAB nên A’B’ // AB. Vì AB ⊂ (ABCD), nên A’B’ // (ABCD). A đúng.
- A’C’ là đường trung bình tam giác SAC nên A’C’ // AC. Vì AC ⊂ (ABCD), nên A’C’ // (ABCD). B đúng.
- Từ A’B’ // AB và A’C’ // AC, ta có mp(A’B’C’D’) // mp(ABCD). D đúng.
- A’C’ // AC, còn BD là đường chéo của đáy. AC và BD không song song với nhau. Do đó A’C’ không song song với BD. C sai.
Chọn C.
Câu 4: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi G và G’ lần lượt là trọng tâm tam giác ABC và A’B’C’. Gọi M và M’ lần lượt là trung điểm của BC và B’C’. Tìm mặt phẳng song song với mp(CA’M’).
A. mp(AMB’)
B. mp(GMC’)
C. mp(GBG’)
D. mp(AGA’)
Lời giải:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Ta chứng minh AM // A’M’ và AM’ // MB’. Từ đó suy ra mp(CA’M’) // mp(AMB’).
Chọn A.
Câu 5: Cho hai hình vuông ABCD và ABEF ở trong 2 mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC và BF lần lượt lấy các điểm M; N sao cho AM = BN. Các đường thẳng song song với AB vẽ từ M và N lần lượt cắt AD; AF tại M’; N’. Tìm mặt phẳng song song với (DEF)
A. (NN’C)
B. (AMM’)
C. (BMC)
D. (MNN’M’)
Lời giải:
Ta có AM/AC = AM’/AD và BN/BF = BN’/AF. Do AM=BN và AC=BF, suy ra AM/AC = BN/BF. Do đó AM’/AD = BN’/AF.
Ta chứng minh M’N’ // DF.
Ta chứng minh MN // EF.
Từ đó suy ra (MNN’M’) // (DEF).
Chọn D.
Câu 6: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có các cạnh bên AA’; BB’; CC’ và DD’. Khẳng định nào dưới đây sai?
A. (AA’B’B) // (DD’C’C)
B. (BA’D’) // (ADC’)
C. A’B’CD là hình bình hành
D. BB’D’D là một tứ giác
Lời giải:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
- A đúng: Hai mặt bên đối diện song song.
- C đúng: A’B’ // DC và A’B’ = DC (do là hình bình hành).
- D đúng: B, B’, D, D’ đồng phẳng tạo thành một tứ giác.
- B sai: Ta có A’D’ // BC và BA’ // DC’. Hai mặt phẳng (BA’D’) và (ADC’) không song song.
Chọn B.
Câu 7: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M; N và P lần lượt là trung điểm của AA’; BB’ và CC’. Tìm mệnh đề sai?
A. BP // mp (A’NC’)
B. mp(MPB) // mp(A’C’N)
C. mp(ABC) // mp(A’B’C’)
D. A’N // mp(ABC)
Lời giải:
- C đúng: Tính chất hình lăng trụ.
- A đúng: Chứng minh BP // NC’ và NC’ thuộc (A’NC’).
- B đúng: Chứng minh MP // A’C’ và MB // A’N.
- D sai: A’N không song song với bất kỳ đường nào trong mp(ABC) nói chung.
Chọn D.
Câu 8: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M và N lần lượt là trung điểm của BB’ và CC’. Gọi Δ là giao tuyến của hai mặt phẳng (AMN) và (A’B’C’) Khẳng định nào sau đây đúng?
A. Δ // AB
B. Δ // AC
C. Δ // BC
D. Δ // AA’
Lời giải:
Cách chứng minh hai mặt phẳng song song cực hay
Ta có MN // B’C’ (do MN là đường trung bình của hình bình hành BCC’B’).
Vì MN ⊂ (AMN) và B’C’ ⊂ (A’B’C’), và MN // B’C’, nên giao tuyến của hai mặt phẳng này, Δ, sẽ song song với MN và B’C’.
Do B’C’ // BC, nên Δ // BC.
Chọn C.
Câu 9: Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M; N; P; K và H lần lượt là trung điểm của AB; BC; CD; C’D’ và A’D’. Tìm mệnh đề sai?
A. MN // mp(HKD)
B. mp(B’MN) // mp(HKD)
C. DK // mp(MNB’)
D. C’P // mp(NB’D’)
Lời giải:
- MN là đường trung bình tam giác ABC nên MN // AC. HK là đường trung bình tam giác A’D’C’ nên HK // A’C’. Mà AC // A’C’, suy ra MN // HK. Vì HK ⊂ (HKD), nên MN // (HKD). A đúng.
- Ta chứng minh MB’ // DK. Vì MB’ ⊂ (MNB’), nên DK // (MNB’). C đúng.
- Từ A và C, suy ra mp(B’MN) // mp(HKD). B đúng.
- D sai: C’P không song song với bất kỳ đường nào trong mp(NB’D’) nói chung.
Chọn D.
IV. Bài Tập Tự Luyện
Dưới đây là một số bài tập tự luyện để các em thực hành thêm:
Bài 1. Cho hình chóp S.ABCD đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA, CD.
a. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).
b. Gọi I là trung điểm của SD, J là 1 điểm trên (ABCD) và cách đều AB, CD. Chứng minh IJ // (SAB).
c. Giả sử tam giác SAD và ABC cân tại A. Gọi AE, AF lần lượt là các đường phân giác trong của tam giác ACD, SAB. Chứng minh EF // (SAD).
Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi G1, G2, G3 lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAB, ABC, SBD. Gọi M là một điểm G2G3. Chứng minh G1M //(SBC).
Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Các điểm I, J, K lần lượt trọng tam giác SAB, SBC, SCA. Chứng minh (IJK)// (ABC)
Bài 4. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.
a. Gọi O, O’ lần lượt là tâm của hình bình hành ABCD, ABEF. Chứng minh OO’ song song với các mặt phẳng (ADF), (BCE).
b. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABD, ABE. Chứng minh MN //(CEF)
Bài 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O, gọi M, N, P, Q theo thứ tự là trung điểm của các cạnh SA, SD, AB, ON.
a. Chứng minh rằng (OMN) // (SBC).
b. PQ // (SBC).
Bài 6. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm SA, SB, SD và K, I là trung điểm của BC, OM.
a) Chứng minh: (OMN) // (SCD).
b) Chứng minh: (PMN) // (ABCD).
c) Chứng minh: KI // (SCD).
Bài 7. Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành tâm O. Gọi M, N lần lượt là trung điểm SA, SD.
a) Chứng minh: (OMN) // (SBC).
b) Gọi P, Q, R lần lượt là trung điểm của AB, ON, SB. Chứng minh: PQ // (SBC) và (ROM) //(SCD).
Bài 8. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF có chung cạnh AB và không đồng phẳng. Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của AB, CD, EF. Chứng minh:
a) (ADF) // (BCE).
b) (DIK) // (JBE).
Bài 9. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng khác nhau. Trên các đường chéo AC, BF lấy các điểm M, N sao cho MC = 2AM, NF = 2BN. Qua M, N lần lượt kẻ các đường thẳng song song với cạnh AB, cắt các cạnh AD, AF theo thứ tự tại M1, N1, Chứng minh rằng:
a) MN // DE.
b) M1N1 // (DEF).
c) (MNM1N1) // (DEF).
Bài 10. Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF nằm trên hai mặt phẳng phân biệt. Gọi I, J, K theo thứ tự là trọng tâm các tam giác ADF, ADC, BCE.
Chứng minh rằng: (IJK) // (CDFE).
[
[
