Trong chương trình Toán lớp 12 và các kỳ thi quan trọng, bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước là một dạng bài rất phổ biến. Việc nắm vững phương pháp giải không chỉ giúp các em học sinh tự tin giải quyết các câu hỏi trong đề thi mà còn củng cố nền tảng kiến thức về số phức. Bài viết này sẽ hệ thống hóa các bước giải chi tiết và cung cấp các ví dụ minh họa đa dạng để bạn đọc có thể dễ dàng chinh phục dạng toán này. Tương tự như việc hiểu rõ phương trình mặt cầu có dạng trong hình học không gian, việc thành thạo các phép toán số phức là chìa khóa để giải quyết nhiều vấn đề phức tạp hơn.
TÓM TẮT
Phương pháp giải chung
Để tìm số phức z thỏa mãn một điều kiện cho trước, phương pháp cơ bản và hiệu quả nhất là biểu diễn số phức dưới dạng đại số. Cụ thể, chúng ta sẽ thực hiện theo các bước sau:
- Đặt z = a + bi, trong đó a, b là các số thực (a là phần thực, b là phần ảo).
- Từ đó suy ra số phức liên hợp z̄ = a – bi.
- Thay z và z̄ vào điều kiện hoặc phương trình của bài toán.
- Thực hiện các phép toán cộng, trừ, nhân, chia số phức để biến đổi phương trình.
- Sử dụng nguyên tắc hai số phức bằng nhau:
- Cho hai số phức z₁ = a + bi và z₂ = c + di.
- Ta có z₁ = z₂ ⇔ a = c và b = d.
- Tức là, chúng ta sẽ đồng nhất phần thực và phần ảo ở hai vế của phương trình.
- Giải hệ phương trình hai ẩn a và b vừa thu được để tìm ra giá trị cụ thể.
- Kết luận về số phức z = a + bi cần tìm.
Ví dụ minh họa chi tiết
Để hiểu rõ hơn về phương pháp trên, chúng ta hãy cùng xét qua các ví dụ cụ thể từ cơ bản đến nâng cao.
Ví dụ 1: Tìm số thực x, y
Bài toán: Tìm các số thực x, y thỏa mãn: 3x + y + 5xi = 2y – 1 + (x – y)i.
Lời giải:
Dựa trên điều kiện hai số phức bằng nhau, ta đồng nhất phần thực và phần ảo ở hai vế:
- Phần thực: 3x + y = 2y – 1
- Phần ảo: 5x = x – y
Từ đó, ta có hệ phương trình:
{ 3x – y = -1
{ 4x + y = 0
Giải hệ này, ta được x = -1/7 và y = 4/7.
Ví dụ 2: Tìm môđun của số phức
Bài toán: Cho Số Phức Z Thỏa Mãn: 3z + 2z̄ = (4 – i)². Tính môđun của số phức z.
Lời giải:
Gọi z = a + bi, suy ra z̄ = a – bi.
Phương trình đã cho tương đương với:
3(a + bi) + 2(a – bi) = 16 – 8i – 1
⇔ 3a + 3bi + 2a – 2bi = 15 – 8i
⇔ 5a + bi = 15 – 8i
Đồng nhất phần thực và phần ảo, ta có:
{ 5a = 15
{ b = -8
Suy ra a = 3 và b = -8. Vậy z = 3 – 8i.
Môđun của z là: |z| = √(3² + (-8)²) = √(9 + 64) = √73.
Ví dụ 3: Giải phương trình chứa z và z̄
Bài toán: Tìm số phức z, biết z – (2 + 3i)z̄ = 1 – 9i.
Lời giải:
Gọi z = a + bi. Phương trình trở thành:
(a + bi) – (2 + 3i)(a – bi) = 1 – 9i
⇔ a + bi – (2a – 2bi + 3ai – 3bi²) = 1 – 9i
⇔ a + bi – (2a – 3b + (3a – 2b)i) = 1 – 9i
⇔ (a – (2a – 3b)) + (b – (3a – 2b))i = 1 – 9i
⇔ (-a + 3b) + (-3a + 3b)i = 1 – 9i
Đồng nhất hai vế, ta được hệ:
{ -a + 3b = 1
{ -3a + 3b = -9
Giải hệ phương trình, ta tìm được a = 5 và b = 2.
Vậy z = 5 + 2i.
Lưu ý: Lời giải trong bài gốc có sự nhầm lẫn, kết quả đúng phải là z = 5 + 2i.
Ví dụ 4: Tìm số phức khi z² là số thuần ảo
Bài toán: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = √2 và z² là số thuần ảo?
Lời giải:
Gọi z = a + bi.
- Điều kiện |z| = √2 ⇒ √(a² + b²) = √2 ⇔ a² + b² = 2.
- Ta có z² = (a + bi)² = a² – b² + 2abi.
Để z² là số thuần ảo, phần thực của nó phải bằng 0, tức là a² – b² = 0 ⇔ a² = b².
Kết hợp hai điều kiện, ta có hệ:
{ a² + b² = 2
{ a² = b²
Thay a² = b² vào phương trình đầu tiên, ta được 2a² = 2 ⇔ a² = 1 ⇔ a = ±1.
Với a = 1, b² = 1 ⇒ b = ±1. Ta có hai số phức: 1 + i và 1 – i.
Với a = -1, b² = 1 ⇒ b = ±1. Ta có hai số phức: -1 + i và -1 – i.
Vậy có tổng cộng 4 số phức thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Ví dụ 5: Phương trình bậc hai của z
Bài toán: Tìm tất cả số phức z thỏa mãn z² = |z|² + z̄.
Lời giải:
Đặt z = x + yi.
Phương trình đã cho trở thành:
(x + yi)² = (√(x² + y²))² + (x – yi)
⇔ x² – y² + 2xyi = x² + y² + x – yi
⇔ (-2y² – x) + (2xy + y)i = 0
Điều này tương đương với hệ phương trình:
{ -2y² – x = 0
{ 2xy + y = 0
Từ phương trình thứ hai: y(2x + 1) = 0 ⇔ y = 0 hoặc x = -1/2.
- Trường hợp 1: Nếu y = 0.
Thay vào phương trình đầu tiên: -x = 0 ⇔ x = 0.
Ta có số phức z = 0. - Trường hợp 2: Nếu x = -1/2.
Thay vào phương trình đầu tiên: -2y² – (-1/2) = 0 ⇔ 2y² = 1/2 ⇔ y² = 1/4 ⇔ y = ±1/2.
Ta có hai số phức: z = -1/2 + i/2 và z = -1/2 – i/2.
Vậy có 3 số phức thỏa mãn là z = 0, z = -1/2 + i/2, và z = -1/2 – i/2.
Bài tập tự luyện
Để rèn luyện kỹ năng, hãy thử sức với các bài tập dưới đây. Việc thực hành thường xuyên cũng quan trọng như khi tìm hiểu cho các phản ứng hoá học sau 1 nh4 2so4, càng làm nhiều bạn sẽ càng quen thuộc với các dạng bài.
- Cho số phức z thỏa mãn (2z – 1)(1 + i) + (z̄ + 1)(1 – i) = 2 – 2i. Tính giá trị của |z|.
- Tìm số nguyên x, y sao cho số phức z = x + yi thỏa mãn z³ = 18 + 26i.
- Cho số phức z thỏa mãn z(1 + i) = 3 – 5i. Tính môđun của z.
- Tìm môđun số phức z thỏa mãn z(2 – i) + 13i = 1.
- Cho số phức z thỏa mãn z² – 6z + 13 = 0. Tính giá trị của |z + z̄|.
Kết luận
Bài toán tìm số phức z thỏa mãn điều kiện cho trước tuy có nhiều biến thể nhưng đều tuân theo một phương pháp giải chung là đặt z = a + bi và giải hệ phương trình. Chìa khóa để thành công là nắm vững các phép toán cơ bản của số phức và giải hệ phương trình một cách cẩn thận, chính xác. Hy vọng rằng qua bài viết này, các bạn học sinh đã có cái nhìn tổng quan và chi tiết về dạng bài tập quan trọng này, từ đó áp dụng hiệu quả vào quá trình học tập và thi cử.
