Tìm M để Phương Trình Có Nghiệm Thỏa Mãn Điều Kiện Cho Trước Lớp 9

Trong chương trình Toán lớp 9, việc tìm tham số $m$ để phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn các điều kiện cho trước là một dạng bài tập quan trọng, thường xuyên xuất hiện trong các đề thi học kỳ và tuyển sinh. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập vận dụng, giúp các em học sinh nắm vững dạng toán này.

A. Phương pháp giải

Để giải quyết dạng bài toán tìm $m$ cho phương trình bậc hai có nghiệm thỏa mãn điều kiện cho trước, chúng ta có thể phân loại thành các dạng nhỏ sau:

Dạng 3.3.1: Tìm $m$ để phương trình có nghiệm thỏa mãn điều kiện về dấu hoặc thỏa mãn đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm

Các bước thực hiện:

1. Tìm điều kiện xác định:

   • Nếu phương trình có dạng $ax^2 + bx + c = 0$, cần xét trường hợp $a = 0$ (phương trình trở thành bậc nhất) và $a neq 0$ (phương trình bậc hai).
   • Tìm điều kiện để phương trình có nghiệm (hoặc có nghiệm kép, hai nghiệm phân biệt tùy theo yêu cầu đề bài). Điều kiện này thường là $Delta’ geq 0$ hoặc $Delta geq 0$.

2. Áp dụng định lý Vi-ét:

   • Tính tổng hai nghiệm $S = x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$.
   • Tính tích hai nghiệm $P = x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$.

3. Biến đổi biểu thức điều kiện:

   • Sử dụng các đẳng thức, bất đẳng thức liên hệ giữa các nghiệm đã cho trong đề bài.
   • Thay thế $x_1 + x_2$ và $x_1 cdot x_2$ bằng $S$ và $P$ đã tính ở bước 2 để đưa về một phương trình hoặc bất phương trình chỉ chứa $m$.

4. Tìm tham số $m$:

   • Giải phương trình hoặc bất phương trình chứa $m$ để tìm các giá trị của $m$.

5. Đối chiếu và kết luận:

   • So sánh các giá trị $m$ tìm được với điều kiện xác định ở bước 1.
   • Chỉ giữ lại những giá trị $m$ thỏa mãn tất cả các điều kiện.
   • Kết luận các giá trị $m$ cần tìm.

Dạng 3.3.2: Tìm tham số $m$ để phương trình có một nghiệm là $x_0$

Đây là dạng bài đơn giản nhất, có thể giải theo các bước sau:

1. Thay nghiệm $x_0$ vào phương trình:

   • Thế giá trị nghiệm $x_0$ đã cho vào phương trình bậc hai.
   • Khi đó, phương trình sẽ trở thành một phương trình chỉ chứa tham số $m$.

2. Tìm tham số $m$:

   • Giải phương trình vừa thu được để tìm giá trị của $m$.

3. Tìm nghiệm còn lại (nếu yêu cầu):

   • Sau khi tìm được $m$, thay giá trị $m$ này vào phương trình ban đầu hoặc sử dụng định lý Vi-ét để tìm nghiệm còn lại.
   • Ví dụ, nếu đã biết một nghiệm là $x_1 = x_0$, ta có thể tìm nghiệm còn lại $x_2$ bằng công thức $x_1 + x_2 = -frac{b}{a}$ hoặc $x_1 cdot x_2 = frac{c}{a}$.

4. Kết luận:

   • Đưa ra giá trị $m$ và nghiệm còn lại (nếu đề bài yêu cầu).

Dạng 3.3.3: Tìm giá trị của tham số để hai phương trình có ít nhất một nghiệm chung

Khi hai phương trình bậc hai có ít nhất một nghiệm chung, ta có thể giải theo các bước sau:

1. Tìm điều kiện để các phương trình có nghiệm:

   • Đối với mỗi phương trình, tính biệt thức $Delta$ (hoặc $Delta’$) và đặt điều kiện $Delta geq 0$ để phương trình có nghiệm.

2. Giả sử nghiệm chung và lập hệ phương trình:

   • Gọi $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình.
   • Thay $x_0$ vào cả hai phương trình, ta sẽ thu được một hệ phương trình với hai ẩn là $x_0$ và $m$.

3. Giải hệ phương trình:

   • Giải hệ phương trình để tìm $x_0$ và $m$. Có thể sử dụng phương pháp thế hoặc cộng đại số.
   • Một cách khác là trừ hai phương trình cho nhau để loại bỏ $x_0^2$, từ đó tìm được mối liên hệ giữa $x_0$ và $m$, hoặc tìm trực tiếp $m$. Sau đó, thay $m$ vào một trong hai phương trình để tìm $x_0$.

4. Kiểm tra và kết luận:

   • Với mỗi giá trị $m$ tìm được, kiểm tra xem nghiệm chung $x_0$ có thỏa mãn điều kiện có nghiệm của cả hai phương trình ban đầu hay không.
   • Kết luận các giá trị $m$ thỏa mãn yêu cầu bài toán.

B. Các ví dụ điển hình

Ví dụ 1: Tìm $m$ để phương trình $x^2 – 2(m – 2)x – 6m = 0$ có nghiệm $x_1; x_2$ sao cho biểu thức $x_1^2 + x_2^2$ đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải:

Phương trình đã cho là phương trình bậc hai với $a=1$, $b=-2(m-2)$, $c=-6m$.

Để phương trình có nghiệm, ta cần $Delta’ geq 0$.
$Delta’ = (-(m-2))^2 – 1 cdot (-6m) = (m-2)^2 + 6m = m^2 – 4m + 4 + 6m = m^2 + 2m + 4$.
Ta thấy $m^2 + 2m + 4 = (m+1)^2 + 3 > 0$ với mọi $m$. Do đó, phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi $m$.

Theo định lý Vi-ét, ta có:
$x_1 + x_2 = 2(m-2) = 2m – 4$
$x_1 x_2 = -6m$

Xét biểu thức $x_1^2 + x_2^2$:
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2$
$= (2m – 4)^2 – 2(-6m)$
$= 4m^2 – 16m + 16 + 12m$
$= 4m^2 – 4m + 16$

Để biểu thức này đạt giá trị nhỏ nhất, ta xét hàm số bậc hai $f(m) = 4m^2 – 4m + 16$. Đây là parabol có hệ số $a=4 > 0$, nên đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh.
Hoành độ đỉnh là $m = -frac{b}{2a} = -frac{-4}{2 cdot 4} = frac{4}{8} = frac{1}{2}$.

Vậy, giá trị nhỏ nhất của $x_1^2 + x_2^2$ đạt được khi $m = frac{1}{2}$.

Biểu đồ minh họa parabol đạt giá trị nhỏ nhất tại đỉnh

Chọn D.

Ví dụ 2: Tìm $m$ để $mx^2 – 2(m + 1)x + m + 3 = 0$ là phương trình bậc hai nhận $x = -2$ là nghiệm.

Lời giải:

Để phương trình là phương trình bậc hai, ta cần $m neq 0$.
Vì $x = -2$ là nghiệm của phương trình, ta thay $x = -2$ vào phương trình:
$m(-2)^2 – 2(m + 1)(-2) + m + 3 = 0$
$4m + 4(m + 1) + m + 3 = 0$
$4m + 4m + 4 + m + 3 = 0$
$9m + 7 = 0$
$m = -frac{7}{9}$

Giá trị $m = -frac{7}{9}$ thỏa mãn điều kiện $m neq 0$.
Vậy, giá trị của $m$ cần tìm là $-frac{7}{9}$.

Hình ảnh minh họa về nghiệm của phương trình bậc hai

Chọn A.

Ví dụ 3: Tìm $m$ để hai phương trình $x^2 + x + m – 2 = 0$ (1) và $x^2 + (m – 2)x + 1 = 0$ (2) có nghiệm chung.

Lời giải:

Gọi $x_0$ là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có:
$x_0^2 + x_0 + m – 2 = 0$ (1′)
$x_0^2 + (m – 2)x_0 + 1 = 0$ (2′)

Trừ hai phương trình (1′) và (2′) cho nhau:
$(x_0 + m – 2) – ((m – 2)x_0 + 1) = 0$
$x_0 + m – 2 – (m – 2)x_0 – 1 = 0$
$x_0(1 – (m – 2)) + m – 3 = 0$
$x_0(3 – m) + m – 3 = 0$
$x_0(3 – m) – (3 – m) = 0$
$(x_0 – 1)(3 – m) = 0$

Trường hợp 1: $3 – m = 0 Rightarrow m = 3$.
Thay $m = 3$ vào phương trình (1): $x^2 + x + 3 – 2 = 0 Rightarrow x^2 + x + 1 = 0$.
$Delta = 1^2 – 4 cdot 1 cdot 1 = 1 – 4 = -3 < 0$. Phương trình này vô nghiệm.
Vậy $m = 3$ không thỏa mãn.

Trường hợp 2: $x_0 – 1 = 0 Rightarrow x_0 = 1$.
Thay $x_0 = 1$ vào phương trình (1):
$1^2 + 1 + m – 2 = 0 Rightarrow 1 + 1 + m – 2 = 0 Rightarrow m = 0$.
Kiểm tra với $m=0$:
Phương trình (1) trở thành: $x^2 + x – 2 = 0$, có nghiệm $x=1$ và $x=-2$.
Phương trình (2) trở thành: $x^2 – 2x + 1 = 0$, có nghiệm $x=1$.
Vậy hai phương trình có nghiệm chung $x_0 = 1$ khi $m = 0$.

Chọn D.

C. Bài tập vận dụng

Bài 1: Số các giá trị của $m$ để phương trình $x^2 – 6x + (5 – m^2) = 0$ có hai nghiệm $x_1; x_2$ sao cho $3x_1 cdot x_2 = x_1 + x_2$.

Lời giải:
Phương trình có $a=1, b=-6, c=5-m^2$.
$Delta’ = (-3)^2 – 1 cdot (5-m^2) = 9 – 5 + m^2 = 4 + m^2 > 0$ với mọi $m$. Phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.
Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = 6$, $x_1 x_2 = 5 – m^2$.
Theo đề bài: $3x_1 x_2 = x_1 + x_2$.
Thay vào: $3(5 – m^2) = 6$
$15 – 3m^2 = 6$
$3m^2 = 9$
$m^2 = 3 Rightarrow m = pm sqrt{3}$.
Có 2 giá trị của $m$.

Đáp án A.

Bài 2: Tìm $m$ để phương trình $x^2 – (m + 1)x + m = 0$ có hai nghiệm là độ dài hai cạnh của hình chữ nhật có chu vi gấp bốn lần diện tích.

Lời giải:
Phương trình có $a=1, b=-(m+1), c=m$.
$Delta = (-(m+1))^2 – 4(1)(m) = m^2 + 2m + 1 – 4m = m^2 – 2m + 1 = (m-1)^2 geq 0$.
Phương trình luôn có nghiệm với mọi $m$.
Để hai nghiệm là độ dài hai cạnh, ta cần $x_1 > 0$ và $x_2 > 0$. Điều này tương đương với $x_1 + x_2 > 0$ và $x_1 x_2 > 0$.
$x_1 + x_2 = m+1 > 0 Rightarrow m > -1$.
$x_1 x_2 = m > 0$.
Vậy điều kiện là $m > 0$.

Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = m+1$, $x_1 x_2 = m$.
Chu vi hình chữ nhật: $P = 2(x_1 + x_2) = 2(m+1)$.
Diện tích hình chữ nhật: $S = x_1 x_2 = m$.
Theo đề bài: $P = 4S$.
$2(m+1) = 4m$
$2m + 2 = 4m$
$2m = 2 Rightarrow m = 1$.
Giá trị $m = 1$ thỏa mãn điều kiện $m > 0$.

Đáp án A.

Bài 3: Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + (m – 1)^2 = 0$ có hai nghiệm $x_1; x_2$ sao cho $x_1^2 + x_2^2$.

Lời giải:
Phương trình có $a=1, b=2m, c=(m-1)^2$.
$Delta’ = m^2 – 1 cdot (m-1)^2 = m^2 – (m^2 – 2m + 1) = 2m – 1$.
Để phương trình có hai nghiệm, $Delta’ geq 0 Rightarrow 2m – 1 geq 0 Rightarrow m geq frac{1}{2}$.
Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = -2m$, $x_1 x_2 = (m-1)^2$.
$x_1^2 + x_2^2 = (x_1 + x_2)^2 – 2x_1 x_2 = (-2m)^2 – 2(m-1)^2 = 4m^2 – 2(m^2 – 2m + 1) = 4m^2 – 2m^2 + 4m – 2 = 2m^2 + 4m – 2$.
Đề bài yêu cầu tính giá trị của biểu thức $x_1^2 + x_2^2$, nhưng lại không đưa ra điều kiện cụ thể cho biểu thức này (ví dụ: đạt giá trị nhỏ nhất, bằng một số nào đó). Giả sử đề bài yêu cầu tìm $m$ để biểu thức này có giá trị nhỏ nhất.
Xét hàm $f(m) = 2m^2 + 4m – 2$ với $m geq frac{1}{2}$.
Đây là parabol có đỉnh tại $m = -frac{4}{2 cdot 2} = -1$. Tuy nhiên, giá trị này không thỏa mãn $m geq frac{1}{2}$. Do đó, hàm số đồng biến trên khoảng $m geq frac{1}{2}$.
Giá trị nhỏ nhất đạt được tại $m = frac{1}{2}$.
Khi đó, $x_1^2 + x_2^2 = 2(frac{1}{2})^2 + 4(frac{1}{2}) – 2 = 2(frac{1}{4}) + 2 – 2 = frac{1}{2}$.

Đáp án D.

Minh họa đồ thị hàm số bậc hai trên một khoảng

Bài 4: Tìm $m$ để phương trình $x^2 + 2mx + m^2 – m + 1 = 0$ có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^2 – 2mx_2 = 9$.

Lời giải:
Phương trình có $a=1, b=2m, c=m^2-m+1$.
$Delta’ = m^2 – (m^2-m+1) = m-1$.
Để phương trình có hai nghiệm, $Delta’ geq 0 Rightarrow m-1 geq 0 Rightarrow m geq 1$.
Theo Vi-ét: $x_1 + x_2 = -2m$, $x_1 x_2 = m^2-m+1$.
Từ $x_1 + x_2 = -2m$, ta có $x_1 = -2m – x_2$.
Thay vào điều kiện $x_1^2 – 2mx_2 = 9$:
$(-2m – x_2)^2 – 2mx_2 = 9$
$(4m^2 + 4mx_2 + x_2^2) – 2mx_2 = 9$
$4m^2 + 2mx_2 + x_2^2 = 9$ (A)

Ta cũng có $x_2$ là nghiệm của phương trình: $x_2^2 + 2mx_2 + m^2 – m + 1 = 0$.
$Rightarrow x_2^2 + 2mx_2 = -(m^2 – m + 1) = -m^2 + m – 1$.

Thay vào phương trình (A):
$4m^2 + (-m^2 + m – 1) = 9$
$3m^2 + m – 1 = 9$
$3m^2 + m – 10 = 0$
Giải phương trình bậc hai cho $m$:
$Delta_m = 1^2 – 4(3)(-10) = 1 + 120 = 121 = 11^2$.
$m = frac{-1 pm 11}{6}$.
$m_1 = frac{-1 + 11}{6} = frac{10}{6} = frac{5}{3}$.
$m_2 = frac{-1 – 11}{6} = frac{-12}{6} = -2$.

Kiểm tra điều kiện $m geq 1$. Ta có $m = frac{5}{3}$ thỏa mãn, còn $m = -2$ không thỏa mãn.
Vậy $m = frac{5}{3}$.

Đáp án C.

Hình ảnh minh họa biểu đồ với các giá trị phân biệt

Bài 5: Số các giá trị của $m$ để hai phương trình $x^2 – (2m + 1)x + 3m = 0$ (1) và $x^2 – mx – m – 1 = 0$ (2) có nghiệm chung là:

Lời giải:
Gọi $x_0$ là nghiệm chung.
$x_0^2 – (2m + 1)x_0 + 3m = 0$ (1′)
$x_0^2 – mx_0 – m – 1 = 0$ (2′)
Trừ (1′) cho (2′):
$(-(2m+1) – (-m))x_0 + (3m – (-m-1)) = 0$
$(-2m – 1 + m)x_0 + (3m + m + 1) = 0$
$(-m – 1)x_0 + 4m + 1 = 0$
$x_0 = -frac{4m+1}{m+1}$ (với $m neq -1$)

Thay $x_0$ vào (2′):
$(-frac{4m+1}{m+1})^2 – m(-frac{4m+1}{m+1}) – m – 1 = 0$
$frac{(4m+1)^2}{(m+1)^2} + frac{m(4m+1)}{m+1} – (m+1) = 0$
Nhân cả hai vế với $(m+1)^2$:
$(4m+1)^2 + m(4m+1)(m+1) – (m+1)^3 = 0$
$(16m^2 + 8m + 1) + m(4m^2 + 5m + 1) – (m^3 + 3m^2 + 3m + 1) = 0$
$16m^2 + 8m + 1 + 4m^3 + 5m^2 + m – m^3 – 3m^2 – 3m – 1 = 0$
$3m^3 + (16+5-3)m^2 + (8+1-3)m + (1-1) = 0$
$3m^3 + 18m^2 + 6m = 0$
$3m(m^2 + 6m + 2) = 0$

Trường hợp 1: $m=0$.
Phương trình (1): $x^2 – x = 0 Rightarrow x(x-1)=0 Rightarrow x=0$ hoặc $x=1$.
Phương trình (2): $x^2 – 1 = 0 Rightarrow x = pm 1$.
Nghiệm chung là $x=1$. Vậy $m=0$ thỏa mãn.

Trường hợp 2: $m^2 + 6m + 2 = 0$.
$Delta_m = 6^2 – 4(1)(2) = 36 – 8 = 28$.
$m = frac{-6 pm sqrt{28}}{2} = frac{-6 pm 2sqrt{7}}{2} = -3 pm sqrt{7}$.
Cả hai giá trị này đều khác -1.

Ta cần kiểm tra xem với các giá trị $m$ này, hai phương trình có nghiệm hay không.
Đối với phương trình (1): $Delta_1 = (2m+1)^2 – 4(3m) = 4m^2 + 4m + 1 – 12m = 4m^2 – 8m + 1$.
Đối với phương trình (2): $Delta_2 = (-m)^2 – 4(1)(-m-1) = m^2 + 4m + 4 = (m+2)^2 geq 0$.
Phương trình (2) luôn có nghiệm.

Nếu $m = -3 + sqrt{7}$: $m approx -3 + 2.64 = -0.36$.
$m+1 = sqrt{7} – 2 > 0$.
$Delta_1 = 4(-3+sqrt{7})^2 – 8(-3+sqrt{7}) + 1 = 4(9 – 6sqrt{7} + 7) + 24 – 8sqrt{7} + 1 = 4(16 – 6sqrt{7}) + 25 – 8sqrt{7} = 64 – 24sqrt{7} + 25 – 8sqrt{7} = 89 – 32sqrt{7}$.
$32sqrt{7} approx 32 times 2.64 = 84.48$.
$Delta_1 > 0$.

Nếu $m = -3 – sqrt{7}$: $m approx -3 – 2.64 = -5.64$.
$m+1 = -2 – sqrt{7} < 0$.
$Delta_1 = 4(-3-sqrt{7})^2 – 8(-3-sqrt{7}) + 1 = 4(9 + 6sqrt{7} + 7) + 24 + 8sqrt{7} + 1 = 4(16 + 6sqrt{7}) + 25 + 8sqrt{7} = 64 + 24sqrt{7} + 25 + 8sqrt{7} = 89 + 32sqrt{7} > 0$.

Như vậy, có 3 giá trị của $m$ thỏa mãn.

Đáp án B.

D. Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho phương trình $mx^2 – 3(m + 1)x + m^2 – 13m – 6 = 0$ ($m$ là tham số). Tìm giá trị của $m$ để phương trình có một nghiệm là $– 2$. Tìm nghiệm còn lại.

Bài 2. Cho phương trình $x^2 – (– 4m – 1)x + 2(m – 4) = 0$. Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn:
a) $x_2 – x_1 = 17$;
b) Biểu thức $A = (x_1 – x_2)^2$ có giá trị nhỏ nhất;
c) Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào $m$.

Bài 3. Cho phương trình $x^2 – 2(1m – 2)x + 2m – 5 = 0$ ($m$ là tham số). Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị của $m$ để thỏa mãn: $x_1(1 – x_2) + x_2(1 – x_1) < 4$.

Bài 4. Cho phương trình $x^2 – (2m + 1)x + m^2 + m – 6 = 0$.
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt;
b) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt;
c) Gọi $x_1, x_2$ là hai nghiệm của phương trình. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = x_1^2+x_2^2$;
d) Tìm các giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm $x_1, x_2$ thỏa mãn $x_1^3+x_2^3=19$.

Bài 5. Cho hai phương trình $x^2 + ax – m = 0$ và $x^2 – mx + 1 = 0$. Tìm các giá trị của tham số $m$ để:
a) Hai phương trình có nghiệm chung;
b) Hai phương trình tương đương.

Hy vọng với những phương pháp và ví dụ chi tiết trên, các em học sinh sẽ tự tin hơn khi giải các bài toán tìm $m$ liên quan đến nghiệm của phương trình bậc hai. Chúc các em học tốt!

Tải ứng dụng VietJack để giải bài tập SGK, SBT và trên Google Play.