Trang bị kiến thức vững chắc cho học sinh lớp 9 là vô cùng quan trọng, đặc biệt là với môn Toán. Bài viết này tổng hợp 03 đề kiểm tra 1 tiết Toán 9 Chương 1 Đại Số, bao gồm đầy đủ các dạng bài tập từ trắc nghiệm đến tự luận, kèm theo hướng dẫn giải chi tiết. Đây sẽ là tài liệu hữu ích giúp các em ôn tập hiệu quả, tự đánh giá năng lực và chuẩn bị tốt nhất cho các kỳ thi quan trọng.
TÓM TẮT
I. Giới Thiệu Chung Về Các Đề Kiểm Tra
Các đề kiểm tra được biên soạn bám sát chương trình học, tập trung vào các kiến thức cốt lõi của chương “Đại Cương Về Căn Bậc Hai” trong chương trình Toán 9. Mỗi đề bao gồm hai phần chính:
- Phần trắc nghiệm (3 điểm): Gồm 6 câu hỏi nhằm kiểm tra khả năng nhận biết, hiểu và vận dụng các khái niệm cơ bản, công thức biến đổi căn thức.
- Phần tự luận (7 điểm): Gồm các bài tập yêu cầu học sinh trình bày lời giải chi tiết, thể hiện kỹ năng biến đổi biểu thức, giải phương trình, bất phương trình chứa căn và các bài toán chứng minh, tìm giá trị nhỏ nhất/lớn nhất.
Thời gian làm bài cho mỗi đề là 45 phút, phù hợp với quy định kiểm tra 1 tiết.
II. Đề Kiểm Tra Số 1
A. Phần Trắc Nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Điều kiện để $sqrt{frac{x-1}{2}}$ có nghĩa là:
A. $x > 1$
B. $x ge 1$
C. $x < 1$
D. $x le 1$
Câu 2: Kết quả của biểu thức $sqrt{(sqrt{7}-1)^2}$ là:
A. $1 – sqrt{7}$
B. $sqrt{7} – 1$
C. $2(sqrt{7} + 1)$
D. 6
Câu 3: Kết quả của phép tính $(sqrt{5}-2)^2$ là:
A. $9 – 4sqrt{5}$
B. $2 – sqrt{5}$
C. $sqrt{5} – 2$
D. Kết quả khác
Câu 4: Trục căn thức dưới mẫu của biểu thức $frac{2}{sqrt{7}+sqrt{5}}$ ta được kết quả:
A. $sqrt{7} + sqrt{5}$
B. $sqrt{7} – sqrt{5}$
C. $2(sqrt{7} + sqrt{5})$
D. $2(sqrt{7} – sqrt{5})$
Câu 5: Giá trị của x để $sqrt{x-4} = 3$ là :
A. x = 13
B. x = 14
C. x = 1
D. x = 4
Câu 6: Rút gọn biểu thức $sqrt{4x^2y}$ với x < 0; y ≥ 0 ta được:
A. -2x√y
B. 4x√y
C. -4x√y
D. 4√(x²y)
B. Phần Tự Luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm) Thực hiện phép tính:
a) $2sqrt{50} – 3sqrt{98} + 4sqrt{32} – 5sqrt{72}$
Bài 2. (2 điểm)
a) Tìm x, biết: $sqrt{x^2} = 2$
b) Chứng minh: $frac{x-y}{sqrt{x}-sqrt{y}} = sqrt{x} + sqrt{y}$ (với x>0; y>0 và $x neq y$)
Bài 3. (2 điểm)
Cho biểu thức: $A = frac{sqrt{x}+1}{sqrt{x}-1} – frac{sqrt{x}-1}{sqrt{x}+1} – frac{4sqrt{x}}{x-1}$
a) Rút gọn A.
b) Tìm x để A = 7
Bài 4. (1 điểm) Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $B = x + frac{1}{x}$ với $x > 0$.
C. Hướng Dẫn Giải (Đề 1)
Phần Trắc Nghiệm (3 điểm)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | B | B | A | A | A | A |
Phần Tự Luận (7 điểm)
Bài 1.
$2sqrt{50} – 3sqrt{98} + 4sqrt{32} – 5sqrt{72}$
$= 2(5sqrt{2}) – 3(7sqrt{2}) + 4(4sqrt{2}) – 5(6sqrt{2})$
$= 10sqrt{2} – 21sqrt{2} + 16sqrt{2} – 30sqrt{2}$
$= (10 – 21 + 16 – 30)sqrt{2}$
$= -25sqrt{2}$
Bài 2.
a) $sqrt{x^2} = 2 Leftrightarrow |x| = 2 Leftrightarrow x = 2$ hoặc $x = -2$.
Vậy phương trình có nghiệm x = 2; x = -2.
b) Ta có:
$frac{x-y}{sqrt{x}-sqrt{y}} = frac{(sqrt{x})^2 – (sqrt{y})^2}{sqrt{x}-sqrt{y}} = frac{(sqrt{x}-sqrt{y})(sqrt{x}+sqrt{y})}{sqrt{x}-sqrt{y}} = sqrt{x} + sqrt{y}$ (đpcm).
Bài 3.
a) Với $x > 0, x neq 1$:
$A = frac{(sqrt{x}+1)^2 – (sqrt{x}-1)^2}{(sqrt{x}-1)(sqrt{x}+1)} – frac{4sqrt{x}}{x-1}$
$A = frac{(x+2sqrt{x}+1) – (x-2sqrt{x}+1)}{x-1} – frac{4sqrt{x}}{x-1}$
$A = frac{4sqrt{x}}{x-1} – frac{4sqrt{x}}{x-1} = 0$.
Vậy A = 0.
b) Tìm x để A = 7.
Do A = 0 với mọi x > 0, $x neq 1$, nên không có giá trị x nào để A = 7.
Bài 4.
Với $x > 0$, áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số dương x và $frac{1}{x}$, ta có:
$x + frac{1}{x} ge 2sqrt{x cdot frac{1}{x}} = 2sqrt{1} = 2$.
Dấu bằng xảy ra khi $x = frac{1}{x} Leftrightarrow x^2 = 1$. Vì $x > 0$, nên $x = 1$.
Vậy giá trị nhỏ nhất của B là 2, đạt được khi x = 1.
III. Đề Kiểm Tra Số 2
A. Phần Trắc Nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Điều kiện để $sqrt{x-5}$ có nghĩa là:
A. $x ge 5$
B. $x > 5$
C. $x le 5$
D. $x < 5$
Câu 2: So sánh 5 với $2sqrt{6}$ ta có kết luận:
A. $5 > 2sqrt{6}$
B. $5 < 2sqrt{6}$
C. $5 = 2sqrt{6}$
D. Không so sánh được
Câu 3: Biểu thức $sqrt{9-6x+x^2}$ xác định khi:
A. $x > 3$
B. $x < 3$
C. $x ge 3$
D. Mọi x
Câu 4: Phương trình $sqrt{x} = a$ vô nghiệm khi
A. $a > 0$
B. $a = 0$
C. $a < 0$
D. Mọi a
Câu 5: $|sqrt{16} – 4x + 3|$ bằng:
A. $4x – 3$
B. $-(4x – 3)$
C. $-4x + 3$
D. $|4 – 4x|$
Câu 6: Giá trị của biểu thức $frac{1}{sqrt{3}+1} – frac{1}{sqrt{3}-1}$ bằng:
A. $-2sqrt{3}$
B. 4
C. 0
D. $1/2$
B. Phần Tự Luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm) Thực hiện các phép tính:
a) $(15sqrt{50} + 5sqrt{200} – 3sqrt{450}) : sqrt{10}$
Bài 2. (2 điểm)
a) Tìm x biết: $sqrt{x+4} = sqrt{x} + 2$
b) Rút gọn: $sqrt{x^2+6x+9} – sqrt{x^2-6x+9}$ với $0 le x < 3$.
Bài 3. (2,5 điểm) Cho biểu thức:
$M = (frac{1}{sqrt{a}} – frac{1}{sqrt{b}}) : (frac{sqrt{a}-sqrt{b}}{sqrt{ab}})$ với a > b > 0.
a) Rút gọn M.
b) Tính giá trị M nếu $sqrt{a} – sqrt{b} = 2$ và $ab = 9$.
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Bài 4. (0,5 điểm) Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức : $D = frac{1}{sqrt{x}+2}$ với $x ge 0$.
C. Hướng Dẫn Giải (Đề 2)
Phần Trắc Nghiệm (3 điểm)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | A | A | D | C | D | A |
Phần Tự Luận (7 điểm)
Bài 1.
a) $(15sqrt{50} + 5sqrt{200} – 3sqrt{450}) : sqrt{10}$
$= (15 cdot 5sqrt{2} + 5 cdot 10sqrt{2} – 3 cdot 15sqrt{2}) : sqrt{10}$
$= (75sqrt{2} + 50sqrt{2} – 45sqrt{2}) : sqrt{10}$
$= 80sqrt{2} : sqrt{10} = frac{80sqrt{2}}{sqrt{10}} = frac{80}{sqrt{5}} = frac{80sqrt{5}}{5} = 16sqrt{5}$.
Bài 2.
a) ĐKXĐ: $x ge 0$.
$sqrt{x+4} = sqrt{x} + 2$
Bình phương hai vế: $x+4 = (sqrt{x}+2)^2$
$x+4 = x + 4sqrt{x} + 4$
$4sqrt{x} = 0 Leftrightarrow sqrt{x} = 0 Leftrightarrow x = 0$.
Thỏa mãn ĐKXĐ.
b) Với $0 le x < 3$:
$sqrt{x^2+6x+9} – sqrt{x^2-6x+9}$
$= sqrt{(x+3)^2} – sqrt{(x-3)^2}$
$= |x+3| – |x-3|$
Vì $0 le x < 3$, nên $x+3 > 0$ và $x-3 < 0$.
$= (x+3) – (-(x-3)) = x+3 + x-3 = 2x$.
Bài 3.
a) Với a > b > 0:
$M = (frac{sqrt{b}-sqrt{a}}{sqrt{ab}}) : (frac{sqrt{a}-sqrt{b}}{sqrt{ab}})$
$M = frac{sqrt{b}-sqrt{a}}{sqrt{ab}} cdot frac{sqrt{ab}}{sqrt{a}-sqrt{b}}$
$M = frac{-(sqrt{a}-sqrt{b})}{sqrt{a}-sqrt{b}} = -1$.
b) Ta có $M = -1$. Giá trị này không phụ thuộc vào $sqrt{a} – sqrt{b}$ hay $ab$. Do đó, khi $sqrt{a} – sqrt{b} = 2$ và $ab = 9$, giá trị của M vẫn là -1.
c) Tìm điều kiện của a, b để M < 1.
Vì M = -1 với mọi a > b > 0, nên $-1 < 1$ luôn đúng.
Vậy điều kiện là $a > b > 0$.
Bài 4.
Với $x ge 0$, ta có $sqrt{x} ge 0$.
Suy ra $sqrt{x}+2 ge 2$.
Do đó, $D = frac{1}{sqrt{x}+2} le frac{1}{2}$.
D lớn nhất ⇔ $sqrt{x}+2$ nhỏ nhất.
Giá trị nhỏ nhất của $sqrt{x}+2$ là 2, đạt được khi $x = 0$.
Vậy GTLN của D là $frac{1}{2}$, đạt được khi x = 0.
IV. Đề Kiểm Tra Số 3
A. Phần Trắc Nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Số có căn bậc hai số học của nó bằng 9 là:
A. -3
B. 3
C. -81
D. 81
Câu 2: Biểu thức $sqrt{x^2-4x+4}$ xác định với giá trị:
A. $x < 2$
B. $x > 2$
C. $x le 2$
D. Mọi x
Câu 3: $|x-2|$ sau khi bỏ dấu căn, kết quả là:
A. $x-2$
B. $2-x$
C. $2-x$ và $x-2$
D. $|x-2|$ (Tùy thuộc vào dấu của x-2)
Câu 4: Giá trị của biểu thức $sqrt{3+2sqrt{2}} – sqrt{3-2sqrt{2}}$ bằng:
A. 2
B. $2sqrt{2}$
C. 4
D. 1
Câu 5: Giá trị của biểu thức $(sqrt{3}-1)^2 – (sqrt{3}+1)^2$ bằng:
A. 1
B. $sqrt{3} – 2$
C. $2 – sqrt{3}$
D. $-4sqrt{3}$
Câu 6: Rút gọn biểu thức $frac{3+sqrt{3}}{sqrt{3}} – sqrt{3}$ được kết quả là:
A. -1
B. 1
C. -11
D. 11
B. Phần Tự Luận (7 điểm)
Bài 1. (2 điểm) Thực hiện phép tính:
$|sqrt{2}-3| – |1-sqrt{2}| + |3+sqrt{2}|$
Bài 2. (2 điểm)
a) Tính giá trị biểu thức: $frac{2}{2-sqrt{3}} – frac{2}{2+sqrt{3}}$
b) Với x > 0, $x neq 4$ và $x neq 9$. Hãy chứng tỏ rằng giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:
$B = (frac{1}{2-sqrt{x}} – frac{1}{2+sqrt{x}}) cdot frac{2- sqrt{x}}{2}$
Bài 3. (2,5 điểm) Cho biểu thức:
$A = frac{sqrt{a}-2}{sqrt{a}+1} – frac{sqrt{a}+2}{sqrt{a}-1} + frac{2a+4}{a-1}$ với $a ge 0, a neq 1$.
a) Rút gọn A.
b) Tìm a để A < 0.
Bài 4. (0,5 điểm) Chứng minh rằng không tồn tại một tam giác có độ dài ba đường cao là 1; $sqrt{3}$; $1 + sqrt{3}$ (cùng đơn vị đo).
C. Hướng Dẫn Giải (Đề 3)
Phần Trắc Nghiệm (3 điểm)
| Câu | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
|---|---|---|---|---|---|---|
| Đáp án | D | D | D | A | D | B |
Phần Tự Luận (7 điểm)
Bài 1.
$|sqrt{2}-3| – |1-sqrt{2}| + |3+sqrt{2}|$
Vì $sqrt{2} approx 1.414$:
$|sqrt{2}-3| = 3-sqrt{2}$
$|1-sqrt{2}| = sqrt{2}-1$
$|3+sqrt{2}| = 3+sqrt{2}$
Biểu thức trở thành: $(3-sqrt{2}) – (sqrt{2}-1) + (3+sqrt{2})$
$= 3 – sqrt{2} – sqrt{2} + 1 + 3 + sqrt{2}$
$= (3+1+3) + (-sqrt{2}-sqrt{2}+sqrt{2})$
$= 7 – sqrt{2}$.
Bài 2.
a) $frac{2}{2-sqrt{3}} – frac{2}{2+sqrt{3}}$
$= frac{2(2+sqrt{3}) – 2(2-sqrt{3})}{(2-sqrt{3})(2+sqrt{3})}$
$= frac{4+2sqrt{3} – 4+2sqrt{3}}{2^2 – (sqrt{3})^2}$
$= frac{4sqrt{3}}{4-3} = frac{4sqrt{3}}{1} = 4sqrt{3}$.
b) Với $x > 0, x neq 4$:
$B = (frac{1}{2-sqrt{x}} – frac{1}{2+sqrt{x}}) cdot frac{2- sqrt{x}}{2}$
$B = (frac{(2+sqrt{x}) – (2-sqrt{x})}{(2-sqrt{x})(2+sqrt{x})}) cdot frac{2- sqrt{x}}{2}$
$B = (frac{2sqrt{x}}{4-x}) cdot frac{2- sqrt{x}}{2}$
$B = frac{2sqrt{x}(2-sqrt{x})}{2(4-x)} = frac{sqrt{x}(2-sqrt{x})}{4-x}$
$B = frac{2sqrt{x}-x}{4-x}$.
Nếu $x = 9$:
$B = frac{2sqrt{9}-9}{4-9} = frac{2(3)-9}{4-9} = frac{6-9}{-5} = frac{-3}{-5} = frac{3}{5}$.
Nếu $x=1$:
$B = frac{2sqrt{1}-1}{4-1} = frac{2-1}{3} = frac{1}{3}$.
Lưu ý: Có vẻ đề bài hoặc yêu cầu rút gọn có vấn đề, vì kết quả vẫn phụ thuộc vào x. Tuy nhiên, nếu đề bài yêu cầu chứng minh giá trị KHÔNG phụ thuộc vào biến x, thì câu này cần xem lại.
Giả sử đề bài có sai sót và yêu cầu rút gọn biểu thức:
$B = frac{2sqrt{x}-x}{4-x}$. Giá trị của B phụ thuộc vào x.
Bài 3.
a) Với $a ge 0, a neq 1$:
$A = frac{(sqrt{a}-2)(sqrt{a}-1) – (sqrt{a}+2)(sqrt{a}+1) + 2a+4}{( sqrt{a}+1)(sqrt{a}-1)}$
$A = frac{(a – sqrt{a} – 2sqrt{a} + 2) – (a + sqrt{a} + 2sqrt{a} + 2) + 2a+4}{a-1}$
$A = frac{(a – 3sqrt{a} + 2) – (a + 3sqrt{a} + 2) + 2a+4}{a-1}$
$A = frac{a – 3sqrt{a} + 2 – a – 3sqrt{a} – 2 + 2a+4}{a-1}$
$A = frac{2a – 6sqrt{a} + 4}{a-1}$
$A = frac{2(a – 3sqrt{a} + 2)}{a-1}$.
b) Tìm a để A < 0.
$A = frac{2(a – 3sqrt{a} + 2)}{a-1} < 0$
$frac{2(sqrt{a}-1)(sqrt{a}-2)}{(sqrt{a}-1)(sqrt{a}+1)} < 0$
$frac{2(sqrt{a}-2)}{sqrt{a}+1} < 0$
Do $sqrt{a}+1 > 0$ với mọi $a ge 0$, nên ta cần:
$sqrt{a}-2 < 0 Rightarrow sqrt{a} < 2 Rightarrow a < 4$.
Kết hợp với điều kiện $a ge 0, a neq 1$, ta có: $0 le a < 1$ hoặc $1 < a < 4$.
Bài 4.
Giả sử tồn tại một tam giác có độ dài ba đường cao là $h_1 = 1$, $h_2 = sqrt{3}$, $h_3 = 1 + sqrt{3}$.
Gọi $a_1, a_2, a_3$ lần lượt là độ dài ba cạnh tương ứng với các đường cao $h_1, h_2, h_3$. Gọi S là diện tích tam giác.
Ta có: $2S = a_1 h_1 = a_2 h_2 = a_3 h_3$.
Suy ra $a_1 = frac{2S}{1} = 2S$, $a_2 = frac{2S}{sqrt{3}}$, $a_3 = frac{2S}{1+sqrt{3}}$.
Ba cạnh $a_1, a_2, a_3$ phải thỏa mãn bất đẳng thức tam giác:
$a_1 + a_2 > a_3$
$a_1 + a_3 > a_2$
$a_2 + a_3 > a_1$
Xét bất đẳng thức $a_2 + a_3 > a_1$:
$frac{2S}{sqrt{3}} + frac{2S}{1+sqrt{3}} > 2S$
Chia cả hai vế cho 2S (vì S > 0):
$frac{1}{sqrt{3}} + frac{1}{1+sqrt{3}} > 1$
$frac{1+sqrt{3} + sqrt{3}}{sqrt{3}(1+sqrt{3})} > 1$
$frac{1+2sqrt{3}}{sqrt{3}+3} > 1$
$1+2sqrt{3} > sqrt{3}+3$
$2sqrt{3} – sqrt{3} > 3 – 1$
$sqrt{3} > 2$.
Điều này là sai vì $sqrt{3} approx 1.732$.
Do bất đẳng thức tam giác không được thỏa mãn, nên không tồn tại một tam giác có độ dài ba đường cao lần lượt là $1, sqrt{3}, 1+sqrt{3}$.
Tài liệu tham khảo:
- VietJack. (n.d.). Đề kiểm tra 1 tiết Toán 9 Chương 1 Đại Số có đáp án (10 đề). Truy cập từ https://vietjack.com/de-kiem-tra-lop-9/de-kiem-tra-1-tiet-toan-9-dai-so-chuong-1.jsp
- Tailieugiaovien.com.vn. (n.d.). Bộ giáo án, bài giảng powerpoint, đề thi file word có đáp án 2025. Truy cập từ https://tailieugiaovien.com.vn/
