Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Lớp 8 Bằng Hằng Đẳng Thức

I. Giới Thiệu Phương Pháp

Trong chương trình Toán lớp 8, việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức là một dạng bài tập quan trọng, thường xuất hiện trong các bài kiểm tra và thi cử. Một trong những phương pháp hiệu quả để giải quyết dạng bài này là sử dụng các hằng đẳng thức đã học. Bài viết này sẽ cung cấp kiến thức chi tiết về cách áp dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện.

II. Phương Pháp Giải Bài Tập

1. Các Hằng Đẳng Thức Cần Nhớ

Để giải quyết dạng bài này, chúng ta cần nắm vững các hằng đẳng thức liên quan đến bình phương của một tổng, bình phương của một hiệu và bình phương của một nhị thức:

• Với mọi biểu thức $x$, ta luôn có $x^2 ge 0$.
• Với mọi biểu thức $a, b$ ta có:
  • $(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2 ge 0$
  • $(a-b)^2 = a^2 – 2ab + b^2 ge 0$

2. Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức

Dựa trên các hằng đẳng thức trên, ta có các quy tắc sau để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức dạng $A(x)$:

• Nếu biểu thức có dạng $A(x) = (x-a)^2 + b$, do $(x-a)^2 ge 0$ với mọi $x$, nên $A(x) ge b$. Giá trị nhỏ nhất của $A(x)$ là $b$, đạt được khi $x=a$.
• Nếu biểu thức có dạng $A(x) = -(x-a)^2 + b$, do $(x-a)^2 ge 0$ với mọi $x$, nên $-(x-a)^2 le 0$. Do đó, $A(x) le b$. Giá trị lớn nhất của $A(x)$ là $b$, đạt được khi $x=a$.
• Nếu biểu thức có dạng $A(x) = c(x-a)^2 + b$ với $c > 0$, thì $c(x-a)^2 ge 0$, suy ra $A(x) ge b$. Giá trị nhỏ nhất của $A(x)$ là $b$, đạt được khi $x=a$.
• Nếu biểu thức có dạng $A(x) = c(x-a)^2 + b$ với $c < 0$, thì $c(x-a)^2 le 0$, suy ra $A(x) le b$. Giá trị lớn nhất của $A(x)$ là $b$, đạt được khi $x=a$.
• Với mọi $A, B$ ta có $A^2 ge 0$ và $B^2 ge 0$.

3. Biến Đổi Biểu Thức Về Dạng Hằng Đẳng Thức

Để áp dụng phương pháp trên, chúng ta thường cần biến đổi biểu thức ban đầu về dạng $(a pm b)^2$ hoặc tương tự. Các bước thực hiện bao gồm:

• Nhóm các hạng tử chứa biến: Gom các hạng tử có chứa biến $x$ (hoặc các biến khác) lại với nhau.
• Tách hạng tử tự do: Tách một phần của hạng tử tự do để tạo thành hằng đẳng thức bình phương của một tổng hoặc hiệu.
• Hoàn thành hằng đẳng thức: Sử dụng công thức $(a pm b)^2 = a^2 pm 2ab + b^2$ để viết lại biểu thức.
• Xác định giá trị: Dựa vào dạng biểu thức sau khi biến đổi, xác định giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất.

III. Ví Dụ Minh Họa

Ví dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = 6x – x^2$.

• Lời giải:
  Ta có:
  $A = 6x – x^2 = -(x^2 – 6x)$
  Để tạo hằng đẳng thức, ta thêm và bớt $9 = (6/2)^2$:
  $A = -(x^2 – 6x + 9 – 9) = -(x^2 – 6x + 9) + 9 = -(x – 3)^2 + 9$
  Vì $(x-3)^2 ge 0$ với mọi $x$, nên $-(x-3)^2 le 0$.
  Do đó, $A = -(x-3)^2 + 9 le 9$.
  Giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $9$, đạt được khi $x = 3$.

Ví dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = 6 – 8x – x^2$.

• Lời giải:
  Ta có:
  $B = 6 – 8x – x^2 = -(x^2 + 8x) + 6$
  Để tạo hằng đẳng thức, ta thêm và bớt $16 = (8/2)^2$:
  $B = -(x^2 + 8x + 16 – 16) + 6 = -(x^2 + 8x + 16) + 16 + 6 = -(x + 4)^2 + 22$
  Vì $(x+4)^2 ge 0$ với mọi $x$, nên $-(x+4)^2 le 0$.
  Do đó, $B = -(x+4)^2 + 22 le 22$.
  Giá trị lớn nhất của biểu thức $B$ là $22$, đạt được khi $x = -4$.

Ví dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 4x^2 + 8x + 10$.

• Lời giải:
  Ta có:
  $C = 4x^2 + 8x + 10 = (2x)^2 + 2.(2x).2 + 4 + 6 = (2x + 2)^2 + 6$
  Vì $(2x+2)^2 ge 0$ với mọi $x$, nên $C = (2x+2)^2 + 6 ge 6$.
  Giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C$ là $6$, đạt được khi $2x+2=0$, tức là $x=-1$.

Ví dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = frac{1}{2x^2 + 4x + 9}$.

• Lời giải:
  Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số.
  Xét mẫu số: $2x^2 + 4x + 9$.
  Ta có: $2x^2 + 4x + 9 = 2(x^2 + 2x) + 9 = 2(x^2 + 2x + 1 – 1) + 9 = 2(x+1)^2 – 2 + 9 = 2(x+1)^2 + 7$.
  Vì $2(x+1)^2 ge 0$ với mọi $x$, nên $2(x+1)^2 + 7 ge 7$.
  Giá trị nhỏ nhất của mẫu số là $7$, đạt được khi $x=-1$.
  Khi đó, giá trị lớn nhất của biểu thức $A$ là $frac{1}{7}$.

IV. Bài Tập Trắc Nghiệm và Tự Luyện

Dưới đây là một số bài tập giúp bạn củng cố kiến thức:

1. Bài Tập Trắc Nghiệm

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = 5 – (x-2)^2$.

• A. 5
• B. 3
• C. 7
• D. 0

Lời giải:
Vì $(x-2)^2 ge 0$, nên $-(x-2)^2 le 0$.
Do đó, $A = 5 – (x-2)^2 le 5$.
Giá trị lớn nhất của A là 5, đạt được khi $x=2$.
Đáp án: A

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = 10 – x^2$.

• A. 0
• B. 10
• C. -10
• D. 9

Lời giải:
Vì $x^2 ge 0$, nên $-x^2 le 0$.
Do đó, $B = 10 – x^2 le 10$.
Giá trị lớn nhất của B là 10, đạt được khi $x=0$.
Đáp án: B

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = 4x – 2x^2$.

• A. 0
• B. 1
• C. 4
• D. 2

Lời giải:
$A = 4x – 2x^2 = -2(x^2 – 2x) = -2(x^2 – 2x + 1 – 1) = -2(x-1)^2 + 2$.
Vì $-2(x-1)^2 le 0$, nên $A le 2$.
Giá trị lớn nhất của A là 2, đạt được khi $x=1$.
Đáp án: D

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $C = 4x + 3 – x^2$.

• A. 7
• B. 4
• C. 3
• D. -1

Lời giải:
$C = -x^2 + 4x + 3 = -(x^2 – 4x) + 3 = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 3 = -(x-2)^2 + 4 + 3 = -(x-2)^2 + 7$.
Vì $-(x-2)^2 le 0$, nên $C le 7$.
Giá trị lớn nhất của C là 7, đạt được khi $x=2$.
Đáp án: A

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $D = -x^2 + 6x – 11$.

• A. -11
• B. 6
• C. -2
• D. 9

Lời giải:
$D = -x^2 + 6x – 11 = -(x^2 – 6x) – 11 = -(x^2 – 6x + 9 – 9) – 11 = -(x-3)^2 + 9 – 11 = -(x-3)^2 – 2$.
Vì $-(x-3)^2 le 0$, nên $D le -2$.
Giá trị lớn nhất của D là -2, đạt được khi $x=3$.
Đáp án: C

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E = 4x – x^2 + 1$.

• A. 1
• B. 5
• C. 3
• D. 6

Lời giải:
$E = -x^2 + 4x + 1 = -(x^2 – 4x) + 1 = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 1 = -(x-2)^2 + 4 + 1 = -(x-2)^2 + 5$.
Vì $-(x-2)^2 le 0$, nên $E le 5$.
Giá trị lớn nhất của E là 5, đạt được khi $x=2$.
Đáp án: B

Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^2 + 8x + 11$.

• A. 3
• B. 8
• C. 11
• D. 9

Lời giải:
$A = 2x^2 + 8x + 11 = 2(x^2 + 4x) + 11 = 2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 11 = 2(x+2)^2 – 8 + 11 = 2(x+2)^2 + 3$.
Vì $2(x+2)^2 ge 0$, nên $A ge 3$.
Giá trị nhỏ nhất của A là 3, đạt được khi $x=-2$.
Đáp án: A

Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E = x^2 – 2x + y^2 + 4y + 10$.

• A. 1
• B. 10
• C. 5
• D. 8

Lời giải:
$E = (x^2 – 2x + 1) + (y^2 + 4y + 4) + 5 = (x-1)^2 + (y+2)^2 + 5$.
Vì $(x-1)^2 ge 0$ và $(y+2)^2 ge 0$, nên $E ge 5$.
Giá trị nhỏ nhất của E là 5, đạt được khi $x=1$ và $y=-2$.
Đáp án: C

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D = 4x^2 + y^2 + 6y + 20$.

• A. 20
• B. 11
• C. 10
• D. 16

Lời giải:
$D = 4x^2 + (y^2 + 6y + 9) + 11 = 4x^2 + (y+3)^2 + 11$.
Vì $4x^2 ge 0$ và $(y+3)^2 ge 0$, nên $D ge 11$.
Giá trị nhỏ nhất của D là 11, đạt được khi $x=0$ và $y=-3$.
Đáp án: B

Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $G = x^2 + 5y^2 – 4xy – 8y + 28$.

• A. 10
• B. 8
• C. 20
• D. 15

Lời giải:
$G = (x^2 – 4xy + 4y^2) + (y^2 – 8y + 16) + 8 = (x-2y)^2 + (y-4)^2 + 8$.
Vì $(x-2y)^2 ge 0$ và $(y-4)^2 ge 0$, nên $G ge 8$.
Giá trị nhỏ nhất của G là 8, đạt được khi $y=4$ và $x=2y=8$.
Đáp án: B

2. Bài Tập Tự Luyện

• Bài 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = -2x^2 – 5x + 3$.
• Bài 2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 3x^2 + 7x + 15$.
• Bài 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 5x^2 + x + 2$.
• Bài 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 3x^2 + 2y^2 + 8y + 23$.
• Bài 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = -x^2 + 5x + 5$.

V. Kết Luận

Việc nắm vững và vận dụng linh hoạt các hằng đẳng thức là chìa khóa để giải quyết hiệu quả các bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức. Bài viết đã trình bày phương pháp chi tiết, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành, hy vọng sẽ giúp các em học sinh lớp 8 tự tin chinh phục dạng bài này.