Cách Tính Tổng Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn: Hướng Dẫn Chi Tiết và Bài Tập

Cấp số nhân lùi vô hạn là một khái niệm quan trọng trong chương trình Toán lớp 11, đặc biệt khi ôn tập cho các kỳ thi. Bài viết này sẽ cung cấp cho bạn phương pháp giải chi tiết và các dạng bài tập thực hành để nắm vững cách tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

I. Lý Thuyết Về Cấp Số Nhân Lùi Vô Hạn

1. Định Nghĩa

Một cấp số nhân vô hạn có công bội $q$ thỏa mãn điều kiện $|q| < 1$ được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

2. Công Thức Tính Tổng

Tổng $S$ của một cấp số nhân lùi vô hạn được tính theo công thức:

$S = frac{u_1}{1 – q}$

trong đó:

• $u_1$ là số hạng đầu tiên của cấp số nhân.
• $q$ là công bội của cấp số nhân, với $|q| < 1$.

II. Phương Pháp Giải Và Ví Dụ Minh Họa

Để giải các bài toán liên quan đến cấp số nhân lùi vô hạn, chúng ta cần xác định rõ số hạng đầu ($u_1$) và công bội ($q$), sau đó áp dụng công thức tính tổng.

Ví dụ 1: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn sau: 1/2, -1/4, 1/8, -1/16, …

• Phân tích:
  • Số hạng đầu $u_1 = 1/2$.
  • Công bội $q = frac{-1/4}{1/2} = -1/2$.
  • Kiểm tra điều kiện: $|q| = |-1/2| = 1/2 < 1$. Đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
• Tính tổng:
  $S = frac{u_1}{1 – q} = frac{1/2}{1 – (-1/2)} = frac{1/2}{1 + 1/2} = frac{1/2}{3/2} = 1/3$.

Ví dụ 2: Tìm tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ biết $u_n = frac{1}{3^n}$.

• Phân tích:
  • Ta có $u_1 = frac{1}{3^1} = 1/3$.
  • $u_2 = frac{1}{3^2} = 1/9$.
  • Công bội $q = frac{u_2}{u_1} = frac{1/9}{1/3} = 1/3$.
  • Kiểm tra điều kiện: $|q| = |1/3| = 1/3 < 1$. Đây là cấp số nhân lùi vô hạn.
• Tính tổng:
  $S = frac{u_1}{1 – q} = frac{1/3}{1 – 1/3} = frac{1/3}{2/3} = 1/2$.

Ví dụ 3: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: 2, -1, 1/2, -1/4, …

• Phân tích:
  • Số hạng đầu $u_1 = 2$.
  • Công bội $q = frac{-1}{2} = -1/2$.
  • Kiểm tra điều kiện: $|q| = |-1/2| = 1/2 < 1$.
• Tính tổng:
  $S = frac{u_1}{1 – q} = frac{2}{1 – (-1/2)} = frac{2}{1 + 1/2} = frac{2}{3/2} = 4/3$.

Ví dụ 4: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội $q = 2/3$.

• Phân tích:
  • Ta có $S = 3$ và $q = 2/3$.
  • Kiểm tra điều kiện: $|q| = |2/3| = 2/3 < 1$.
• Tìm $u_1$:
  Áp dụng công thức $S = frac{u_1}{1 – q}$, ta có:
  $3 = frac{u_1}{1 – 2/3} Rightarrow 3 = frac{u_1}{1/3} Rightarrow u_1 = 3 times (1/3) = 1$.
• Số hạng tổng quát:
  $u_n = u_1 cdot q^{n-1} = 1 cdot (2/3)^{n-1} = (2/3)^{n-1}$.

Ví dụ 5: Tìm tổng của dãy số sau: $-1 + frac{1}{10} – frac{1}{100} + frac{1}{1000} – …$

• Phân tích:
  • Đây là một cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu $u_1 = -1$.
  • Công bội $q = frac{1/10}{-1} = -1/10$.
  • Kiểm tra điều kiện: $|q| = |-1/10| = 1/10 < 1$.
• Tính tổng:
  $S = frac{u_1}{1 – q} = frac{-1}{1 – (-1/10)} = frac{-1}{1 + 1/10} = frac{-1}{11/10} = -10/11$.

Ví dụ 6: Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5/3, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39/25. Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó.

• Phân tích:
  • Ta có hệ phương trình:
    1. $S = frac{u_1}{1 – q} = 5/3$
    2. $u_1 + u_2 + u_3 = u_1 + u_1q + u_1q^2 = 39/25$
• Giải hệ phương trình:
  Từ (1), suy ra $u_1 = frac{5}{3}(1 – q)$.
  Thay vào (2):
  $frac{5}{3}(1 – q) + frac{5}{3}(1 – q)q + frac{5}{3}(1 – q)q^2 = 39/25$
  $frac{5}{3}(1 – q)(1 + q + q^2) = 39/25$
  $frac{5}{3}(1 – q^3) = 39/25$
  $1 – q^3 = frac{39}{25} times frac{3}{5} = frac{117}{125}$
  $q^3 = 1 – frac{117}{125} = frac{8}{125}$
  $q = sqrt{frac{8}{125}} = 2/5$.
  Kiểm tra điều kiện: $|q| = |2/5| = 2/5 < 1$.
  Thay $q = 2/5$ vào công thức $u_1 = frac{5}{3}(1 – q)$:
  $u_1 = frac{5}{3}(1 – 2/5) = frac{5}{3}(3/5) = 1$.
• Kết quả: Số hạng đầu là $u_1 = 1$ và công bội là $q = 2/5$.

III. Bài Tập Vận Dụng

Bài 1: Tổng của cấp số nhân vô hạn: $1/2, -1/4, 1/8, -1/16, …$ là bao nhiêu?

• Đáp án: $1/3$.

Bài 2: Tổng của cấp số nhân vô hạn: $1/3, -1/9, 1/27, -1/81, …$ là bao nhiêu?

• Đáp án: $1/4$.

Bài 3: Tổng của cấp số nhân vô hạn: $2, -1, 1/2, -1/4, …$ là bao nhiêu?

• Đáp án: $4/3$.

Bài 4: Tổng của cấp số nhân vô hạn: $3, -1, 1/3, -1/9, …$ là bao nhiêu?

• Đáp án: $9/4$.

Bài 5: Tổng của cấp số nhân vô hạn: $-1/4, 1/16, -1/64, 1/256, …$ là bao nhiêu?

• Đáp án: $-1/5$.

Bài 6: Kết quả nào sau đây là đúng cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ có $q = 3/4$?

• Đáp án: C. $S = u_1 / (1 – 3/4) = 4u_1/1$.

Bài 7: Cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ có $u_1 = -50$, $S = 100$. Tìm 5 số hạng đầu tiên của dãy.

• Đáp án: C. 50; 25; 12,5; 6,25; 3,125.
  • Ta có $S = u_1 / (1-q) Rightarrow 100 = -50 / (1-q) Rightarrow 1-q = -50/100 = -1/2 Rightarrow q = 3/2$. Tuy nhiên, điều này mâu thuẫn với $|q|<1$. Có lẽ đề bài có sai sót. Nếu $u_1 = 50$ thì ta có $100 = 50/(1-q) Rightarrow 1-q = 1/2 Rightarrow q=1/2$. Khi đó dãy là 50, 25, 12.5, 6.25, 3.125.

Bài 8: Cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ có $u_1 = -1$, $q = x$. Tìm tổng $S$ và 3 số hạng đầu của cấp số này.

• Đáp án: C. $S = -1/(1-x)$ và các số hạng là -1, -x, -x^2.

Bài 9: Cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ có $u_1 = -x$, $q = x^2$. Tìm tổng $S$ và 3 số hạng đầu của cấp số này.

• Đáp án: D. $S = -x/(1-x^2)$ và các số hạng là $-x, -x^3, -x^5$.

Bài 10: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: $5, 5/sqrt{5}, 5/5, 5/(5sqrt{5}), …$

• Đáp án: D. $5sqrt{5}/( sqrt{5}-1)$.
  • $u_1 = 5$. $q = 1/sqrt{5}$.
  • $S = 5 / (1 – 1/sqrt{5}) = 5 / ((sqrt{5}-1)/sqrt{5}) = 5sqrt{5} / (sqrt{5}-1)$.

Bài 11: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: $-3, 0.3, -0.03, 0.003, …$

• Đáp án: A. $-10/3$.
  • $u_1 = -3$. $q = 0.3 / (-3) = -0.1 = -1/10$.
  • $S = -3 / (1 – (-1/10)) = -3 / (11/10) = -30/11$. Có sự khác biệt giữa kết quả và đáp án đưa ra. Dựa trên tính toán, đáp án là -30/11.

Bài 12: Tìm tổng của cấp số nhân vô hạn: $2, sqrt{2}, 1, 1/sqrt{2}, …$

• Đáp án: B. $4 – 2sqrt{2}$.
  • $u_1 = 2$. $q = sqrt{2} / 2 = 1/sqrt{2}$.
  • $S = 2 / (1 – 1/sqrt{2}) = 2 / ((sqrt{2}-1)/sqrt{2}) = 2sqrt{2} / (sqrt{2}-1)$.
  • Nhân tử và mẫu với $sqrt{2}+1$: $S = frac{2sqrt{2}(sqrt{2}+1)}{(sqrt{2}-1)(sqrt{2}+1)} = frac{4 + 2sqrt{2}}{2-1} = 4 + 2sqrt{2}$. Có sự khác biệt với đáp án. Nếu đề bài là $2, sqrt{2}, 1$, thì $q = 1/sqrt{2}$. Nếu đề bài là $2, 1, 1/2,…$ thì $q=1/2$, $S = 2/(1-1/2) = 4$. Nếu $2, sqrt{2}, 1$ thì $q=1/sqrt{2}$ và $S = 2/(1-1/sqrt{2}) = 4+2sqrt{2}$.

Bài 13: Cho cấp số nhân lùi vô hạn với tổng là 16/3 và $u_1 = 4$. Tìm công bội $q$.

• Đáp án: A. $q = 1/4$.
  • $S = u_1 / (1-q) Rightarrow 16/3 = 4 / (1-q) Rightarrow 1-q = 4 times (3/16) = 3/4 Rightarrow q = 1 – 3/4 = 1/4$.

Bài 14: Tìm tổng của dãy số: $-1 + 1/10 – 1/100 + 1/1000 – …$

• Đáp án: D. $-10/11$.
  • $u_1 = -1$. $q = -1/10$.
  • $S = -1 / (1 – (-1/10)) = -1 / (11/10) = -10/11$.

Bài 15: Cho dãy số $(u_n)$ là tổng của $n$ số hạng đầu tiên của một cấp số nhân có $u_1 = 1/2$ và $q = (-1)/2$. Tính tổng của dãy $u_n$.

• Đáp án: C. $1/3$.
  • $S_n = u_1 frac{1-q^n}{1-q} = frac{1}{2} frac{1-(-1/2)^n}{1-(-1/2)} = frac{1}{2} frac{1-(-1/2)^n}{3/2} = frac{1}{3}(1-(-1/2)^n)$.
  • Khi $n to infty$, $(-1/2)^n to 0$.
  • Vậy tổng của dãy $un$ khi $n to infty$ là $S = lim{ntoinfty} S_n = 1/3$.

IV. Bài Tập Tự Luyện

1. Bài 1: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn với số hạng đầu bằng 2 và công bội $q = 1/4$.

   • Gợi ý: Áp dụng công thức $S = u_1 / (1-q)$.

2. Bài 2: Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có tổng bằng 3 và công bội $q = 2/3$.

   • Gợi ý: Sử dụng công thức $S = u_1 / (1-q)$ để tìm $u_1$, sau đó viết $u_n = u_1 cdot q^{n-1}$.

3. Bài 3: Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ biết $u_1 = 1$ và ba số hạng liên tiếp $u_1, u_3, u_4$ theo thứ tự là ba số hạng liên tiếp trong một cấp số cộng.

   • Gợi ý: Tìm công bội $q$ từ điều kiện cấp số cộng, sau đó tính tổng $S$.

4. Bài 4: Tính tổng của cấp số nhân vô hạn: $-1/2, 1/4, -1/8, …, (-1)^n / 2^n, …$

   • Gợi ý: Xác định $u_1$ và $q$.

5. Bài 5: Cho cấp số nhân lùi vô hạn $(u_n)$ với công bội $q$. Đặt $S = u_1 + u_2 + … + u_n + …$ thì công thức đúng là gì?

   • A. $S = u_1 / (1-q)$
   • B. $S = u_1 / (q-1)$
   • C. $S = (1-q)u_n$
   • D. $S = u_1 / (1-q^n)$
   • Gợi ý: Đây là công thức định nghĩa tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.