Hướng dẫn chi tiết cách viết phương trình sóng

Mở đầu

Sóng cơ học là một hiện tượng vật lý quen thuộc, đóng vai trò quan trọng trong nhiều lĩnh vực của khoa học và đời sống. Việc nắm vững cách viết phương trình sóng là chìa khóa để giải quyết các bài toán liên quan đến dao động và sóng. Bài viết này sẽ cung cấp một cái nhìn tổng quan và chi tiết về phương pháp xác định phương trình sóng, từ đó giúp các bạn học sinh và những người yêu thích vật lý có thể tự tin chinh phục dạng bài này.

I. Phương pháp viết phương trình sóng

Để viết phương trình sóng cho một điểm bất kỳ trong môi trường truyền sóng, chúng ta cần xác định được phương trình sóng tại nguồn phát và mối liên hệ về pha giữa nguồn và điểm đó.

1. Phương trình sóng tại nguồn

Giả sử phương trình sóng tại nguồn O có dạng tổng quát là:
$u_O = Acos(omega t + phi)$

Trong đó:

• $u_O$: li độ dao động của nguồn tại thời điểm t.
• $A$: biên độ sóng (cm).
• $omega$: tần số góc của sóng (rad/s), $omega = 2pi f$.
• $t$: thời gian (s).
• $phi$: pha ban đầu của nguồn (rad).

2. Phương trình sóng tại một điểm M cách nguồn một khoảng d

Khi sóng truyền từ nguồn O đến điểm M cách nguồn một khoảng $d$, pha của sóng tại M sẽ trễ hơn pha của sóng tại nguồn O một lượng $Delta phi$.

• Nếu sóng truyền theo chiều dương của trục Ox (tức là M ở xa nguồn hơn theo chiều truyền sóng):
  Phương trình sóng tại M có dạng:
  $u_M = Acos(omega t – frac{omega d}{v} + phi)$
  Hoặc có thể viết dưới dạng:
  $u_M = Acos(omega (t – frac{d}{v}) + phi)$

• Nếu sóng truyền theo chiều âm của trục Ox (tức là M ở gần nguồn hơn theo chiều truyền sóng):
  Phương trình sóng tại M có dạng:
  $u_M = Acos(omega t + frac{omega d}{v} + phi)$
  Hoặc có thể viết dưới dạng:
  $u_M = Acos(omega (t + frac{d}{v}) + phi)$

Lưu ý quan trọng: Đơn vị của khoảng cách ($d$) và tốc độ truyền sóng ($v$) phải tương ứng với nhau. Nếu $v$ có đơn vị m/s thì $d$ phải có đơn vị mét, và ngược lại. Mối quan hệ giữa tốc độ truyền sóng ($v$), bước sóng ($lambda$) và tần số góc ($omega$) là $v = frac{omega lambda}{2pi}$, hay $frac{omega}{v} = frac{2pi}{lambda}$. Do đó, phương trình sóng tại M cũng có thể được viết dưới dạng:

• Sóng truyền theo chiều dương:
  $u_M = Acos(omega t – frac{2pi d}{lambda} + phi)$

• Sóng truyền theo chiều âm:
  $u_M = Acos(omega t + frac{2pi d}{lambda} + phi)$

II. Ví dụ minh họa

Ví dụ 1:

Một sóng ngang truyền từ M đến O rồi đến N trên cùng một phương truyền sóng với vận tốc $v = 18$ m/s. Biết MN = 3 m và MO = ON. Phương trình sóng tại O là $u_O = 5cos(4pi t – frac{pi}{6})$ (cm). Viết phương trình sóng tại M và tại N.

Phân tích:

• Nguồn sóng là O.
• Tốc độ truyền sóng $v = 18$ m/s.
• Ta có MO = ON và MN = 3m. Do đó, MO = ON = 1.5m.
• Phương trình sóng tại O: $u_O = 5cos(4pi t – frac{pi}{6})$ (cm). Từ đây suy ra: $A = 5$ cm, $omega = 4pi$ rad/s, $phi = -frac{pi}{6}$ rad.

Giải:

• Viết phương trình sóng tại M:
  Điểm M nằm trước nguồn O theo phương truyền sóng (sóng truyền từ O đến M). Do đó, M sẽ có pha sớm hơn O một lượng $Delta phiM$. Khoảng cách $d{OM} = 1.5$ m.
  Tốc độ truyền sóng $v = 18$ m/s.
  $Delta phiM = frac{omega d{OM}}{v} = frac{4pi times 1.5}{18} = frac{6pi}{18} = frac{pi}{3}$ rad.
  Vì M ở phía trước nguồn O, pha tại M sẽ sớm hơn pha tại O:
  $u_M = 5cos(4pi t – frac{pi}{6} + frac{pi}{3}) = 5cos(4pi t + frac{pi}{6})$ (cm).

• Viết phương trình sóng tại N:
  Điểm N nằm sau nguồn O theo phương truyền sóng. Do đó, N sẽ có pha trễ hơn O một lượng $Delta phiN$. Khoảng cách $d{ON} = 1.5$ m.
  $Delta phiN = frac{omega d{ON}}{v} = frac{4pi times 1.5}{18} = frac{pi}{3}$ rad.
  Vì N ở phía sau nguồn O, pha tại N sẽ trễ hơn pha tại O:
  $u_N = 5cos(4pi t – frac{pi}{6} – frac{pi}{3}) = 5cos(4pi t – frac{pi}{2})$ (cm).

Ví dụ 2:

Một sóng truyền trong một môi trường làm cho các điểm của môi trường dao động. Biết phương trình dao động của các điểm trong môi trường có dạng: $u = 4cos(frac{pi t}{3} + phi)$ cm. Bước sóng bằng 240cm.

1. Tìm độ lệch pha dao động của hai điểm cách nhau 210cm theo phương truyền vào cùng một thời điểm.
2. Một điểm M ở thời điểm t có li độ là 3cm. Tìm li độ của nó sau đó 12s.
3. Điểm N cách O 72,5m. Trong đoạn NO có bao nhiêu điểm dao động cùng pha với nguồn?

Phân tích:

• Phương trình dao động tổng quát: $u = 4cos(frac{pi t}{3} + phi)$ cm. Suy ra: $A = 4$ cm, $omega = frac{pi}{3}$ rad/s.
• Bước sóng $lambda = 240$ cm $= 2.4$ m.
• Tốc độ truyền sóng: $v = frac{omega lambda}{2pi} = frac{(pi/3) times 2.4}{2pi} = frac{0.8pi}{2pi} = 0.4$ m/s.

Giải:

1. Độ lệch pha của hai điểm cách nhau 210cm:
   Khoảng cách $d = 210$ cm $= 2.1$ m.
   Độ lệch pha $Delta phi = frac{2pi d}{lambda} = frac{2pi times 2.1}{2.4} = frac{4.2pi}{2.4} = 1.75pi$ rad.

   Biểu diễn độ lệch pha trên bước sóng

2. Li độ của điểm M sau 12s:
   Chu kì của sóng $T = frac{2pi}{omega} = frac{2pi}{pi/3} = 6$ s.
   Sau 12s, tức là sau $12/6 = 2$ chu kì. Do đó, li độ của điểm M sẽ quay trở lại giá trị ban đầu.
   Nếu tại thời điểm t, li độ $u_M = 3$ cm, thì sau 12s, li độ của nó vẫn là 3 cm.

3. Số điểm dao động cùng pha với nguồn trên đoạn NO:
   Nguồn O có phương trình dao động $uO = 4cos(frac{pi t}{3} + phi)$.
   Điểm N cách nguồn O một khoảng $d{ON} = 72.5$ m.
   Các điểm dao động cùng pha với nguồn O là các điểm có khoảng cách đến nguồn là bội số nguyên của bước sóng: $d = klambda$, với $k$ là số nguyên.
   Ta cần tìm số giá trị nguyên $k$ sao cho $0 < klambda le d_{ON}$.
   $0 < k times 2.4 le 72.5$
   $0 < k le frac{72.5}{2.4} approx 30.2$
   Vậy $k$ có thể nhận các giá trị nguyên từ 1 đến 30.
   Số điểm dao động cùng pha với nguồn O trên đoạn ON là 30 điểm.

III. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1. Một sóng cơ truyền dọc theo trục Ox có phương trình là $u = 5cos(6pi t – pi x)$ (cm), với t đo bằng s, x đo bằng m. Tốc độ truyền sóng này là?
A. 3 m/s. B. 60 m/s.
C. 6 m/s. D. 30 m/s.

Lời giải: Chọn C.
Ta có phương trình sóng: $u = Acos(omega t – frac{2pi x}{lambda})$.
So sánh với $u = 5cos(6pi t – pi x)$, ta có:
$omega = 6pi$ rad/s
$frac{2pi}{lambda} = pi Rightarrow lambda = 2$ m.
Tốc độ truyền sóng $v = frac{omega lambda}{2pi} = frac{6pi times 2}{2pi} = 6$ m/s.

Câu 2. Một sóng cơ có tần số 50 Hz truyền theo phương Ox có tốc độ 30 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương Ox dao động lệch pha nhau $frac{pi}{3}$ bằng?
A. 10 cm. B. 20 cm.
C. 5 cm. D. 60 cm.

Lời giải: Chọn A.
Tần số $f = 50$ Hz.
Tốc độ truyền sóng $v = 30$ m/s.
Bước sóng $lambda = frac{v}{f} = frac{30}{50} = 0.6$ m = 60 cm.
Độ lệch pha $Delta phi = frac{2pi d}{lambda}$.
Ta có $frac{pi}{3} = frac{2pi d}{60}$ cm.
$d = frac{pi/3 times 60}{2pi} = frac{60}{6} = 10$ cm.

Câu 3. Ở một mặt nước (đủ rộng), tại điểm O có một nguồn sóng dao động theo phương thẳng đứng với phương trình $u_0 = 4cos20pi t$ (u tính bằng cm, t tính bằng s). Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 m/s, coi biên độ sóng không đổi khi sóng truyền đi. Phương trình dao động của phần tử nước tại điểm M (ở mặt nước), cách O một khoảng 50 cm là?
A. $u_M = 4cos(20pi t + frac{pi}{2})$ (cm).
B. $u_M = 4cos(20pi t – frac{pi}{4})$ (cm).
C. $u_M = 4cos(20pi t – frac{pi}{2})$ (cm).
D. $u_M = 4cos(20pi t + frac{pi}{4})$ (cm).

Lời giải: Chọn B.
Nguồn sóng: $u_0 = 4cos(20pi t)$. Suy ra: $A = 4$ cm, $omega = 20pi$ rad/s.
Tốc độ truyền sóng $v = 40$ m/s.
Khoảng cách $d = 50$ cm = 0.5 m.
Độ lệch pha giữa M và O: $Delta phi = frac{omega d}{v} = frac{20pi times 0.5}{40} = frac{10pi}{40} = frac{pi}{4}$ rad.
Vì M ở xa nguồn hơn O và sóng truyền từ O đến M, pha tại M trễ hơn pha tại O.
$u_M = 4cos(20pi t – frac{pi}{4})$ (cm).

Câu 4. Một sóng cơ có chu kì 2 s truyền với tốc độ 1 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên một phương truyền sóng mà tại đó các phần tử môi trường dao động ngược pha nhau là?
A. 0,5 m. B. 1,0 m.
C. 2,0 m. D. 2,5 m.

Lời giải: Chọn B.
Chu kì $T = 2$ s.
Tốc độ truyền sóng $v = 1$ m/s.
Bước sóng $lambda = vT = 1 times 2 = 2$ m.
Hai điểm dao động ngược pha nhau gần nhau nhất cách nhau một khoảng bằng $frac{lambda}{2}$.
Khoảng cách $d = frac{lambda}{2} = frac{2}{2} = 1$ m.

Câu 5. Trên một phương truyền sóng có hai điểm M và N cách nhau 80 cm. Sóng truyền theo chiều từ M đến N với bước sóng là 1,6 m. Coi biên độ của sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Phương trình sóng tại N là $u_N = 0,08 cosfrac{pi(t – 4)}{2}$ (m) thì phương trình sóng tại M là?
A. $u_M = 0,08 cosfrac{pi(t + 4)}{2}$ (m).
B. $u_M = 0,08 cos frac{pi(t + 0,5)}{2}$ (m).
C. $u_M = 0,08 cosfrac{pi(t – 1)}{2}$ (m).
D. $u_M = 0,08 cosfrac{pi(t – 2)}{2}$ (m).

Lời giải: Chọn D.
Phương trình sóng tại N: $uN = 0,08 cosfrac{pi(t – 4)}{2}$ (m) $= 0,08 cos(frac{pi t}{2} – 2pi)$ (m) $= 0,08 cos(frac{pi t}{2})$ (m).
Bước sóng $lambda = 1.6$ m $= 160$ cm.
Khoảng cách MN = 80 cm.
Vì sóng truyền từ M đến N, điểm M ở phía trước nguồn sóng so với N, do đó pha tại M sẽ sớm hơn pha tại N.
Độ lệch pha giữa M và N là $Delta phi = frac{2pi d{MN}}{lambda} = frac{2pi times 80}{160} = pi$ rad.
Do đó, pha tại M sẽ sớm hơn pha tại N là $pi$.
$u_M = 0,08 cos(frac{pi t}{2} + pi)$ (m) $= 0,08 cos(frac{pi (t+2)}{2})$ (m).

Câu 6. Một sóng ngang truyền trên sợi dây rất dài với tốc độ truyền sóng là 4 m/s và tần số sóng có giá trị từ 33 Hz đến 43 Hz. Biết hai phần tử tại hai điểm trên dây cách nhau 25 cm luôn dao động ngược pha nhau. Tần số sóng trên dây là?
A. 42 Hz. B. 35 Hz.
C. 40 Hz. D. 37 Hz.

Lời giải: Chọn C.
Hai điểm dao động ngược pha nhau cách nhau $d = 25$ cm $= 0.25$ m. Khoảng cách này phải bằng $(2k+1)frac{lambda}{2}$ với $k$ là số nguyên.
$d = (2k+1)frac{lambda}{2} Rightarrow lambda = frac{2d}{2k+1} = frac{2 times 0.25}{2k+1} = frac{0.5}{2k+1}$ m.
Tốc độ truyền sóng $v = 4$ m/s.
Tần số $f = frac{v}{lambda} = frac{4}{(0.5/(2k+1))} = frac{4(2k+1)}{0.5} = 8(2k+1)$ Hz.
Ta có $33 le f le 43$.
$33 le 8(2k+1) le 43$.
$frac{33}{8} le 2k+1 le frac{43}{8}$.
$4.125 le 2k+1 le 5.375$.
$3.125 le 2k le 4.375$.
$1.5625 le k le 2.1875$.
Vì $k$ là số nguyên, nên $k=2$.
Thay $k=2$ vào công thức tính $f$: $f = 8(2 times 2 + 1) = 8 times 5 = 40$ Hz.

Câu 7. Một sóng hình sin truyền theo chiều dương của trục Ox với phương trình dao động của nguồn sóng (đặt tại O) là $u_O = 4cos100pi t$ (cm). Ở điểm M (theo hướng Ox) cách O một phần tư bước sóng, phần tử môi trường dao động với phương trình là?
A. $u_M = 4cos(100pi t + pi)$ (cm).
B. $u_M = 4cos(100pi t)$ (cm).
C. $u_M = 4cos(100pi t – 0,5pi)$ (cm).
D. $u_M = 4cos(100pi t + 0,5pi)$ (cm).

Lời giải: Chọn C.
Phương trình nguồn $u_O = 4cos100pi t$. Suy ra $omega = 100pi$ rad/s.
Điểm M cách O một khoảng $d = frac{lambda}{4}$.
Độ lệch pha giữa M và O là $Delta phi = frac{2pi d}{lambda} = frac{2pi (lambda/4)}{lambda} = frac{pi}{2}$ rad.
Vì sóng truyền theo chiều dương Ox và M ở xa nguồn hơn O, nên pha tại M trễ hơn pha tại O là $frac{pi}{2}$.
$u_M = 4cos(100pi t – frac{pi}{2})$ (cm).

Câu 8. Một sóng cơ truyền dọc theo truc Ox với phương trình $u = 5cos(8pi t – 0,04pi x)$ (u và x tính bằng cm, t tính bằng s). Tại thời điểm t = 3 s, ở điểm có x = 25 cm, phần tử sóng có li độ là?
A. 5,0 cm. B. -5,0 cm.
C. 2,5 cm. D. -2,5 cm.

Lời giải: Chọn B.
Thay $t = 3$ s và $x = 25$ cm vào phương trình sóng:
$u = 5cos(8pi times 3 – 0,04pi times 25)$
$u = 5cos(24pi – pi)$
$u = 5cos(23pi)$
Vì $cos(23pi) = cos(pi + 22pi) = cos(pi) = -1$.
$u = 5 times (-1) = -5$ cm.

Câu 9. Một sóng âm truyền trong thép với tốc độ 5000 m/s. Nếu độ lệch pha của sóng âm đó ở hai điểm gần nhau nhất cách nhau 1 m trên cùng một phương truyền sóng là $frac{pi}{2}$ thì tần số của sóng bằng?
A. 1000 Hz. B. 2500 Hz.
C. 5000 Hz. D. 1250 Hz.

Lời giải: Chọn D.
Tốc độ truyền sóng $v = 5000$ m/s.
Hai điểm gần nhau nhất cách nhau $d = 1$ m có độ lệch pha $Delta phi = frac{pi}{2}$.
Độ lệch pha $Delta phi = frac{2pi d}{lambda}$.
$frac{pi}{2} = frac{2pi times 1}{lambda} Rightarrow lambda = 4$ m.
Tần số sóng $f = frac{v}{lambda} = frac{5000}{4} = 1250$ Hz.

Câu 10. Một nguồn phát sóng dao động điều hòa tạo ra sóng tròn đồng tâm O truyền trên mặt nước với bước sóng $lambda$. Hai điểm M và N thuộc mặt nước, nằm trên hai phương truyền sóng mà các phần tử nước dao động. Biết OM = 8$lambda$ ; ON = 12$lambda$ và OM vuông góc ON. Trên đoạn MN, số điểm mà phần tử nước dao động ngược pha với dao động của nguồn O là?
A. 5. B. 6.
C. 7. D. 4.

Lời giải: Chọn B.
Nguồn sóng tại O. Xét điểm P trên đoạn MN. Gọi P có tọa độ $(x, y)$ với gốc tọa độ tại O.
Khoảng cách từ P đến O là $r = sqrt{x^2 + y^2}$.
Điều kiện để P dao động ngược pha với nguồn O là $r = (2k+1)frac{lambda}{2}$ với $k$ là số nguyên.

Vì OM vuông góc ON, ta có thể xem OM và ON là hai trục tọa độ vuông góc.
Điểm M cách O 8$lambda$, điểm N cách O 12$lambda$.
Xét đoạn MN. Điểm P trên MN có thể biểu diễn dưới dạng tham số. Tuy nhiên, cách tiếp cận đơn giản hơn là xét trên từng phương truyền sóng.
Độ lệch pha giữa điểm P trên sóng và nguồn O là $Delta phi = frac{2pi r}{lambda}$.
Để P ngược pha với O, ta có $Delta phi = (2k+1)pi$, hay $r = (2k+1)frac{lambda}{2}$.

Ta cần tìm số điểm P trên đoạn MN thỏa mãn $r = (2k+1)frac{lambda}{2}$.
Xét tam giác OMN vuông tại O. MN có phương trình: $frac{x}{8lambda} + frac{y}{12lambda} = 1$.
Ta cần tìm số nghiệm nguyên $k$ sao cho tồn tại $(x, y)$ trên đoạn MN thỏa mãn $sqrt{x^2+y^2} = (2k+1)frac{lambda}{2}$.

Cách tiếp cận khác:
Xét các điểm trên đoạn MN. Lấy một điểm P bất kỳ trên MN. Khoảng cách OP = r.
Ta cần tìm số $k$ nguyên để $r = (2k+1)frac{lambda}{2}$.
Trong đó $r$ có thể thay đổi từ độ dài đoạn ngắn nhất đến dài nhất từ O đến MN.
Độ dài ngắn nhất từ O đến MN là đường cao hạ từ O xuống MN. Gọi chân đường cao là H.
Tam giác OMN vuông tại O. $MN = sqrt{(8lambda)^2 + (12lambda)^2} = sqrt{64lambda^2 + 144lambda^2} = sqrt{208lambda^2} = sqrt{208}lambda approx 14.4lambda$.
Diện tích tam giác OMN = $frac{1}{2} times 8lambda times 12lambda = 48lambda^2$.
Diện tích tam giác OMN = $frac{1}{2} times MN times OH$.
$OH = frac{2 times 48lambda^2}{14.4lambda} = frac{96lambda}{14.4} approx 6.67lambda$.
Độ dài dài nhất từ O đến MN là $ON = 12lambda$.
Vậy $6.67lambda le r le 12lambda$.
Ta cần tìm số nguyên $k$ sao cho $6.67lambda le (2k+1)frac{lambda}{2} le 12lambda$.
$6.67 le (2k+1)/2 le 12$.
$13.34 le 2k+1 le 24$.
$12.34 le 2k le 23$.
$6.17 le k le 11.5$.
Các giá trị nguyên của $k$ là: 7, 8, 9, 10, 11.
Vậy có 5 giá trị của $k$. Tuy nhiên, đây là số điểm trên MN có thể tiếp cận được từ O.

Cách khác: Sử dụng công thức đếm điểm dao động ngược pha.
Số điểm ngược pha trên đoạn MH là: $OH le (2k+1)frac{lambda}{2} le OM$, với H là hình chiếu của O lên MN.
Ta tính OH: $OH = frac{OM cdot ON}{MN} = frac{8lambda cdot 12lambda}{sqrt{(8lambda)^2 + (12lambda)^2}} = frac{96lambda^2}{sqrt{208}lambda} = frac{96lambda}{sqrt{208}} approx 6.67lambda$.
Trên MH: $6.67lambda le (2k+1)frac{lambda}{2} le 8lambda$
$13.34 le 2k+1 le 16$
$12.34 le 2k le 15$
$6.17 le k le 7.5$. Vậy $k = 7$. (1 điểm)

Trên HN: $HN$ là đoạn từ H đến N. HN = ON – OH = $12lambda – 6.67lambda = 5.33lambda$.
$OH le (2k+1)frac{lambda}{2} le ON$
$6.67lambda le (2k+1)frac{lambda}{2} le 12lambda$.
$13.34 le 2k+1 le 24$.
$12.34 le 2k le 23$.
$6.17 le k le 11.5$. Vậy $k = 7, 8, 9, 10, 11$. (5 điểm)

Tuy nhiên, bài toán hỏi trên đoạn MN. MN = $14.4lambda$.
Điểm P trên MN có thể được biểu diễn bằng tham số.

Xem lại lời giải của bài toán:

Lời giải đã áp dụng công thức đếm điểm ngược pha cho đoạn MH và HN.
Đoạn MH: $6.67lambda le (2k+1)lambda/2 le 8lambda$.
$13.34 le 2k+1 le 16$.
$12.34 le 2k le 15$.
$6.17 le k le 7.5$. $k=7$. (1 điểm)

Đoạn HN: $OH le (2k+1)lambda/2 le ON$.
$6.67lambda le (2k+1)lambda/2 le 12lambda$.
$13.34 le 2k+1 le 24$.
$12.34 le 2k le 23$.
$6.17 le k le 11.5$. $k=7, 8, 9, 10, 11$. (5 điểm)

Tổng số điểm trên MN là số điểm trên MH cộng số điểm trên HN, nhưng cần trừ đi điểm H nếu H nằm trên MN và số điểm trùng nhau.
Trong trường hợp này, H không nằm trên MN mà là chân đường cao từ O xuống MN.
Cách đếm điểm ngược pha: $d = (2k+1)frac{lambda}{2}$.
Ta cần đếm số $k$ sao cho điểm P trên MN có khoảng cách $r = OP$ thỏa mãn điều kiện trên.
Xét các điểm trên MN.
Điểm M: $OM = 8lambda$.
Điểm N: $ON = 12lambda$.
Ta xét khoảng cách $r$ từ O đến các điểm trên MN. Giá trị nhỏ nhất của $r$ là $OH approx 6.67lambda$. Giá trị lớn nhất của $r$ là $ON = 12lambda$.
Ta cần tìm số $k$ sao cho $6.67lambda le (2k+1)frac{lambda}{2} le 12lambda$.
$1