Lượng giác là một chuyên đề quan trọng trong chương trình Toán THPT, đóng vai trò nền tảng cho nhiều kiến thức nâng cao. Để giúp các em học sinh nắm vững và vận dụng hiệu quả, bài viết này tổng hợp đầy đủ các công thức lượng giác từ cơ bản đến nâng cao, được trình bày một cách khoa học, ngắn gọn và dễ hiểu.
TÓM TẮT
- 1 I. Khái Niệm Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn
- 2 II. Các Công Thức Lượng Giác Cơ Bản
- 3 III. Công Thức Cộng Lượng Giác
- 4 IV. Công Thức Các Cung Liên Kết Trên Đường Tròn Lượng Giác
- 5 V. Công Thức Nhân Lượng Giác
- 6 VI. Công Thức Hạ Bậc Lượng Giác
- 7 VII. Công Thức Lượng Giác Biến Tổng Thành Tích
- 8 VIII. Công Thức Lượng Giác Biến Đổi Tích Thành Tổng
- 9 IX. Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác
- 10 X. Bảng Xét Dấu Của Các Giá Trị Lượng Giác
- 11 XI. Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt
- 12 XII. Các Công Thức Lượng Giác Nâng Cao Bổ Sung
- 13 XIII. Các Bài Thơ Về Công Thức Lượng Giác
I. Khái Niệm Tỉ Số Lượng Giác Của Góc Nhọn
Trong một tam giác vuông, các tỉ số lượng giác của một góc nhọn được định nghĩa như sau:
- Sin (sinus): Tỉ lệ giữa cạnh đối và cạnh huyền của góc.
- Cos (cosinus): Tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh huyền của góc.
- Tan (tangent): Tỉ lệ giữa cạnh đối và cạnh kề của góc.
- Cot (cotangent): Tỉ lệ giữa cạnh kề và cạnh đối của góc.
Một mẹo nhỏ để ghi nhớ các tỉ số lượng giác này là câu thơ: “Sin đi học, Cos không hư, Tan đoàn kết, Cot kết đoàn”.
Tỉ số lượng giác của góc nhọn
II. Các Công Thức Lượng Giác Cơ Bản
Bên cạnh các tỉ số lượng giác của góc nhọn, còn có các công thức lượng giác cơ bản khác mà học sinh cần nắm vững.
III. Công Thức Cộng Lượng Giác
Các công thức cộng lượng giác giúp biểu diễn các hàm lượng giác của tổng hoặc hiệu hai góc.
- sin(a ± b) = sin a.cos b ± cos a.sin b
- cos(a + b) = cos a.cos b – sin a.sin b
- cos(a – b) = cos a.cos b + sin a.sin b
Để dễ nhớ, có thể tham khảo câu thơ: “Sin thì sin cos cos sin, cos thì cos cos sin sin dấu trừ. Tan thì tan nọ tan kia chia cho mẫu số 1 trừ tan tan.”
IV. Công Thức Các Cung Liên Kết Trên Đường Tròn Lượng Giác
Các cung liên kết là những cặp góc có mối quan hệ đặc biệt trên đường tròn lượng giác, dẫn đến các mối liên hệ thú vị giữa các giá trị lượng giác của chúng.
1. Hai Góc Đối Nhau
- cos(-x) = cos x
- sin(-x) = -sin x
- tan(-x) = -tan x
- cot(-x) = -cot x
2. Hai Góc Bù Nhau
- sin(π – x) = sin x
- cos(π – x) = -cos x
- tan(π – x) = -tan x
- cot(π – x) = -cot x
3. Hai Góc Phụ Nhau
Khi hai góc phụ nhau, ví dụ góc a và góc b sao cho a + b = π/2, ta có:
- sin a = cos b
- cos a = sin b
- tan a = cot b
- cot a = tan b
4. Hai Góc Hơn Kém π
- sin(π + x) = -sin x
- cos(π + x) = -cos x
- tan(π + x) = tan x
- cot(π + x) = cot x
5. Hai Góc Hơn Kém π/2
Mối quan hệ giữa các hàm lượng giác của hai góc hơn kém π/2 có thể được suy ra từ các công thức cơ bản.
Nắm vững kiến thức và phương pháp giải mọi dạng bài tập về phương trình lượng giác với bộ tài liệu độc quyền của VUIHOC ngay.
Banner sách VUIHOC
V. Công Thức Nhân Lượng Giác
Công thức nhân lượng giác cho phép tính giá trị của hàm lượng giác với góc là bội số của một góc cho trước.
1. Công Thức Lượng Giác Nhân Đôi
- sin(2x) = 2 sin x.cos x
2. Công Thức Lượng Giác Nhân Ba
Các công thức nhân ba có thể được suy ra từ công thức cộng và nhân đôi.
3. Công Thức Lượng Giác Nhân Bốn
Tương tự, công thức nhân bốn cũng có thể được xây dựng dựa trên các công thức cơ bản.
VI. Công Thức Hạ Bậc Lượng Giác
Công thức hạ bậc giúp biểu diễn các hàm lượng giác với số mũ cao thành các hàm lượng giác với số mũ thấp hơn. Các công thức này thường được biến đổi từ công thức nhân đôi.
VII. Công Thức Lượng Giác Biến Tổng Thành Tích
Các công thức này hỗ trợ chuyển đổi tổng hoặc hiệu của các hàm lượng giác thành dạng tích, giúp đơn giản hóa biểu thức và giải phương trình.
VIII. Công Thức Lượng Giác Biến Đổi Tích Thành Tổng
Ngược lại với công thức biến tổng thành tích, các công thức này giúp chuyển đổi tích của các hàm lượng giác thành dạng tổng hoặc hiệu.
IX. Công Thức Nghiệm Của Phương Trình Lượng Giác
Đây là phần quan trọng để giải các bài toán về phương trình lượng giác, bao gồm các trường hợp cơ bản và các trường hợp đặc biệt.
Đăng ký ngay để được các thầy cô ôn tập kiến thức và xây dựng lộ trình ôn thi toán THPT sớm ngay từ bây giờ.
Banner khóa học VUIHOC
X. Bảng Xét Dấu Của Các Giá Trị Lượng Giác
Bảng xét dấu giúp xác định dấu của sinx, cosx, tanx, cotx trong từng khoảng xác định trên đường tròn lượng giác.
| Góc phần tư | I | II | III | IV |
|---|---|---|---|---|
| Sin x | dương | dương | âm | âm |
| Cos x | dương | âm | âm | dương |
| Tan x | dương | âm | dương | âm |
| Cot x | dương | âm | dương | âm |
XI. Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt
Việc ghi nhớ giá trị lượng giác của các góc đặc biệt như 0°, 30°, 45°, 60°, 90° và các bội số của chúng là vô cùng cần thiết.
1. Tỉ Số Lượng Giác Của Hai Góc Phụ Nhau
Hai góc phụ nhau (tổng bằng 90 độ) có mối quan hệ đặc biệt: sin(a) = cos(b), cos(a) = sin(b), tan(a) = cot(b), cot(a) = tan(b).
2. Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Các Góc Đặc Biệt
| a (độ) | 0° | 30° | 45° | 60° | 90° | 120° | 135° | 150° | 180° | 270° | 360° |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| sin a | 0 | 1/2 | √2/2 | √3/2 | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1 | 0 |
| cos a | 1 | √3/2 | √2/2 | 1/2 | 0 | -1/2 | -√2/2 | -√3/2 | -1 | 0 | -1 |
| tan a | 0 | 1/√3 | 1 | √3 | -√3 | -1 | -1/√3 | 0 | |||
| cot a | √3 | 1 | 1/√3 | 0 | -1/√3 | -1 | -√3 |
Lưu ý: “||” ký hiệu cho giá trị không xác định.
XII. Các Công Thức Lượng Giác Nâng Cao Bổ Sung
Đối với các bài toán phức tạp hơn, việc sử dụng các công thức lượng giác nâng cao, thường liên quan đến tham số “t”, có thể giúp đơn giản hóa việc biểu diễn.
Đặt $t = tan(x/2)$, ta có thể biểu diễn các hàm lượng giác theo t.
XIII. Các Bài Thơ Về Công Thức Lượng Giác
Để hỗ trợ việc ghi nhớ, nhiều bài thơ và câu vè đã được sáng tạo ra:
1. Bài Thơ Về Công Thức Cộng Lượng Giác
“Sin thì sin cos cos sin,
Cos thì cos cos sin sin rồi trừ.
Tang tổng thì lấy tổng tang,
Chia 1 trừ với tích tang, dễ mà.”
2. Bài Thơ Về Công Thức Cộng Tang
“Tan 2 tổng 2 tầng cao rộng
Trên thượng tầng tan cộng cùng tan
Hạ tầng số 1 rất ngang tàng
Dám trừ đi cả tan tan anh hùng”
3. Câu Thơ Ghi Nhớ Bảng Giá Trị Lượng Giác Của Các Cung Liên Quan Đặc Biệt
“Cos đối, sin bù, phụ chéo, tan hơn kém pi (π)”
4. Câu Thơ Ghi Nhớ Nhanh Công Thức Lượng Giác Biến Đổi Tổng Thành Tích
“Tính sin tổng ta lập tổng sin cô
Tính cô tổng lập ta hiệu đôi cô đôi chàng
Còn tính tan tử + đôi tan (hay là: tan tổng lập tổng 2 tan)
1 trừ tan tích mẫu mang thương rầu
Nếu gặp hiệu ta chớ lo âu,
Đổi trừ thành cộng ghi sâu trong lòng”
Đặc biệt cho tổng của tan:
“Tang mình + với tang ta, sinh ra hai đứa con mình con ta”
(Áp dụng cho tana + tanb)
5. Câu Thơ Ghi Nhớ Nhanh Công Thức Lượng Giác Nhân Đôi
- sin(2a) = 2 sin a.cos a
- cos(2a) = cos²a – sin²a = 2cos²a – 1 = 1 – 2sin²a
- tan(2a) = (2 tan a) / (1 – tan²a)
Phương pháp nhớ nhanh:
“Sin gấp đôi bằng 2 sin cos
Cos gấp đôi bằng bình phương cos trừ đi bình sin
Bằng trừ 1 cộng hai bình cos
Bằng cộng 1 trừ hai bình sin
(Chúng ta chỉ việc nhớ các công thức nhân đôi của cos bằng câu nhớ trên rồi bắt đầu từ đó có thể suy ra các công thức hạ bậc.)
Tan gấp đôi bằng Tan đôi ta lấy đôi tan (2 tan )
Chia một trừ lại bình tan, ra liền.”
PAS VUIHOC – GIẢI PHÁP ÔN LUYỆN CÁ NHÂN HÓA
Khóa học online ĐẦU TIÊN VÀ DUY NHẤT:
- Xây dựng lộ trình học từ mất gốc đến 27+
- Chọn thầy cô, lớp, môn học theo sở thích
- Tương tác trực tiếp hai chiều cùng thầy cô
- Học đi học lại đến khi nào hiểu bài thì thôi
- Rèn tips tricks giúp tăng tốc thời gian làm đề
- Tặng full bộ tài liệu độc quyền trong quá trình học tập
Đăng ký học thử miễn phí ngay!!
CTA VUIHOC
Tổng hợp đầy đủ các công thức lượng giác này sẽ là tài liệu hữu ích, giúp các em học sinh củng cố kiến thức và tự tin chinh phục các dạng bài tập liên quan, đặc biệt là trong kỳ thi Toán THPT Quốc gia. Bên cạnh đó, các em có thể tìm hiểu thêm về kiến thức Toán 12 và các môn học khác tại vuihoc.vn.
Bài viết có thể tham khảo thêm:
- Xét Tính Đơn Điệu Của Hàm Số Lượng Giác
- Lý thuyết và các dạng bài tập hàm số lượng giác
- Các Dạng Phương Trình Lượng Giác
- Nguyên hàm lượng giác cơ bản
