Nhận Dạng và Xác Định Phương Trình Đường Tròn: Tâm và Bán Kính

Đường tròn là một khái niệm hình học quen thuộc, và việc xác định tâm, bán kính của nó từ phương trình là một kỹ năng toán học quan trọng, đặc biệt trong chương trình Toán học lớp 10. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp chi tiết để nhận dạng và xác định tâm, bán kính của đường tròn, kèm theo các ví dụ minh họa thực tế, giúp học sinh củng cố kiến thức và giải quyết hiệu quả các bài tập liên quan.

I. Phương pháp nhận dạng và xác định tâm, bán kính đường tròn

Có hai dạng phương trình chính của đường tròn mà chúng ta thường gặp:

1. Dạng chính tắc: $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$

   • Phương trình này biểu diễn một đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R$. Đây là dạng dễ nhận biết nhất, trực tiếp cho ta tọa độ tâm và giá trị bán kính.

2. Dạng tổng quát: $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$

   • Để phương trình này là phương trình của một đường tròn, điều kiện cần và đủ là $a^2 + b^2 – c > 0$.
   • Nếu điều kiện này được thỏa mãn, thì phương trình biểu diễn một đường tròn có tâm $I(a; b)$ và bán kính $R = sqrt{a^2 + b^2 – c}$.
   • Lưu ý: Trong dạng tổng quát, hệ số của $x^2$ và $y^2$ phải bằng 1. Nếu hệ số khác 1, ta cần chia cả phương trình cho hệ số đó trước khi áp dụng công thức.

II. Ví dụ minh họa

Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các phương pháp trên, chúng ta cùng xem xét các ví dụ sau:

Ví dụ 1: Cho phương trình $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$. Điều kiện để phương trình này là phương trình của một đường tròn là gì?

• Phân tích: Đây là dạng tổng quát của phương trình đường tròn. Áp dụng điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$.
• Đáp án: B. $a^2 + b^2 – c > 0$.

Ví dụ 2: Xác định điều kiện để phương trình $x^2+ y^2- ax – by + c = 0$ là phương trình đường tròn.

• Phân tích: Tương tự ví dụ 1, áp dụng điều kiện xác định của phương trình đường tròn dạng tổng quát.
• Đáp án: C. $a^2 + b^2 – 4c > 0$. (Lưu ý: Ở đây, hệ số của $x$ là $-a$, hệ số của $y$ là $-b$. Khi chuyển về dạng $(x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2$, ta có $a^2 + b^2 – c$ ở vế phải. Tuy nhiên, trong ví dụ này, các hệ số được đặt là $-a$ và $-b$ trong phương trình tổng quát, nên tâm là $(a/2, b/2)$ và bán kính là $sqrt{(a/2)^2 + (b/2)^2 – c} = sqrt{a^2/4 + b^2/4 – c}$. Để bán kính có nghĩa thì $a^2/4 + b^2/4 – c > 0$, tương đương $a^2 + b^2 – 4c > 0$.)

Ví dụ 3: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?
(I) $x^2 + y^2 – 4x + 15y – 12 = 0$.
(II) $x^2 + y^2 – 3x + 4y + 20 = 0$.
(III) $2x^2 + 2y^2 – 4x + 6y + 1 = 0$.

• Phân tích:
  • Xét (I): $a=2$, $b=-15/2$, $c=-12$. Ta có $a^2 + b^2 – c = 2^2 + (-15/2)^2 – (-12) = 4 + 225/4 + 12 = 16 + 225/4 = (64+225)/4 = 289/4 > 0$. Vậy (I) là phương trình đường tròn.
  • Xét (II): $a=3/2$, $b=-2$, $c=20$. Ta có $a^2 + b^2 – c = (3/2)^2 + (-2)^2 – 20 = 9/4 + 4 – 20 = 9/4 – 16 = (9-64)/4 = -55/4 < 0$. Vậy (II) không phải là phương trình đường tròn.
  • Xét (III): Chia cả phương trình cho 2: $x^2 + y^2 – 2x + 3y + 1/2 = 0$. Ta có $a=1$, $b=-3/2$, $c=1/2$. Ta có $a^2 + b^2 – c = 1^2 + (-3/2)^2 – 1/2 = 1 + 9/4 – 1/2 = (4+9-2)/4 = 11/4 > 0$. Vậy (III) là phương trình đường tròn.
• Đáp án: D. Chỉ (I) và (III).

Ví dụ 4: Xác định tâm và bán kính của các đường tròn sau:
(C1): $x^2+ y^2 – 2x + 4y – 4 = 0$.
(C2): $x^2+ y^2 – 5x + 3y – 0,5 = 0$.

• Phân tích:
  • Đối với (C1): $a=1$, $b=-2$. Tâm $I(1; -2)$. Bán kính $R = sqrt{1^2 + (-2)^2 – (-4)} = sqrt{1+4+4} = sqrt{9} = 3$. Mệnh đề (1) đúng.
  • Đối với (C2): $a=5/2$, $b=-3/2$. Tâm $I(5/2; -3/2)$. Bán kính $R = sqrt{(5/2)^2 + (-3/2)^2 – (-0.5)} = sqrt{25/4 + 9/4 + 1/2} = sqrt{34/4 + 2/4} = sqrt{36/4} = sqrt{9} = 3$. Mệnh đề (2) đúng.
• Đáp án: C. Cả hai.

Ví dụ 5: Đường tròn $3x^2 + 3y^2 – 6x + 9y – 9 = 0$ có bán kính bằng bao nhiêu?

• Phân tích: Chia cả phương trình cho 3: $x^2 + y^2 – 2x + 3y – 3 = 0$.
  Ta có $a=1$, $b=-3/2$, $c=-3$.
  Bán kính $R = sqrt{a^2 + b^2 – c} = sqrt{1^2 + (-3/2)^2 – (-3)} = sqrt{1 + 9/4 + 3} = sqrt{4 + 9/4} = sqrt{(16+9)/4} = sqrt{25/4} = 5/2 = 2.5$.
• Đáp án: A. 2.5.

III. Bài tập vận dụng

Dưới đây là một số bài tập giúp bạn luyện tập kỹ năng nhận dạng và xác định tâm, bán kính đường tròn:

Câu 1: Đường tròn $2x^2 + 2y^2 – 8x + 4y – 4 = 0$ có tâm là điểm nào?

• Phân tích: Chia cho 2: $x^2 + y^2 – 4x + 2y – 2 = 0$. Ta có $a=2$, $b=-1$. Tâm $I(2; -1)$.
• Đáp án: D. (2; -1).

Câu 2: Phương trình nào sau đây là phương trình của một đường tròn?

• Phân tích: Kiểm tra điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$ cho từng phương án.
• Đáp án: C. $2x^2 + 2y^2 – 8x – 4y – 6 = 0$ (Sau khi chia cho 2: $x^2 + y^2 – 4x – 2y – 3 = 0$. $a=2, b=1, c=-3$. $a^2+b^2-c = 4+1+3=8>0$).

Câu 3: Cho đường cong $(C): x^2 + y^2 – 8x + 10y + m = 0$. Tìm giá trị của $m$ để $(C)$ là đường tròn có bán kính bằng 7.

• Phân tích: $a=4, b=-5$. $R = sqrt{4^2 + (-5)^2 – m} = sqrt{16+25-m} = sqrt{41-m}$.
  Ta có $R=7$, nên $sqrt{41-m} = 7 Rightarrow 41-m = 49 Rightarrow m = -8$.
• Đáp án: C. m = -8.

Câu 4: Phương trình $x^2 + y^2 – 2(m + 1)x – 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0$ là phương trình đường tròn khi và chỉ khi?

• Phân tích: Tâm $I(m+1; m+2)$. $c = 6m+7$. Điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$ (với $a$ và $b$ là các hệ số trong dạng tổng quát, ở đây ta có thể coi hệ số của $x$ là $-2(m+1)$ và hệ số của $y$ là $-2(m+2)$ nên $a=m+1, b=m+2$).
  $(m+1)^2 + (m+2)^2 – (6m+7) > 0$
  $m^2+2m+1 + m^2+4m+4 – 6m – 7 > 0$
  $2m^2 – 2 > 0 Rightarrow m^2 > 1 Rightarrow m < -1$ hoặc $m > 1$.
• Đáp án: D. $m < -1$ hoặc $m > 1$.

Câu 5: Tìm $m$ để phương trình $x^2 + y^2 – 2mx + 4y + 8 = 0$ không phải là phương trình đường tròn.

• Phân tích: $a=m, b=-2, c=8$. Điều kiện để không là đường tròn là $a^2 + b^2 – c le 0$.
  $m^2 + (-2)^2 – 8 le 0 Rightarrow m^2 + 4 – 8 le 0 Rightarrow m^2 – 4 le 0 Rightarrow -2 le m le 2$.
• Đáp án: C. $-2 le m le 2$.

Câu 6: Xét hai mệnh đề:
(I) $(x – a)^2 + (y – b)^2 = R^2$ là phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$, bán kính $R$.
(II) $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$ là phương trình đường tròn tâm $I(a; b)$.
Hỏi mệnh đề nào đúng?

• Phân tích:
  • (I) Đúng, đây là định nghĩa dạng chính tắc của đường tròn.
  • (II) Sai. Mệnh đề (II) thiếu điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$ để phương trình đó thực sự là đường tròn. Nếu $a^2 + b^2 – c le 0$, nó không phải là đường tròn.
• Đáp án: A. Chỉ (I).

Câu 7: Mệnh đề nào sau đây đúng?
(I) Đường tròn $(C_1)$ có tâm $I(1; -2)$ bán kính $R=3$.
(II) Đường tròn $(C_2)$ có tâm $I(5/2; -3/2)$ bán kính $R=3$.

• Phân tích: Dựa vào các ví dụ đã phân tích ở trên, cả hai mệnh đề đều đúng.
• Đáp án: C. (I) và (II).

Câu 8: Cho đường tròn $(C): x^2 + y^2 + 8x + 6y + 9 = 0$. Mệnh đề nào sau đây sai?

• Phân tích: $a=-4, b=-3, c=9$. Tâm $I(-4; -3)$, bán kính $R = sqrt{(-4)^2 + (-3)^2 – 9} = sqrt{16+9-9} = sqrt{16} = 4$.
  • Kiểm tra điểm O(0,0): $0^2+0^2+8(0)+6(0)+9 = 9 neq 0$. Vậy (C) không đi qua O. Mệnh đề A đúng.
  • Tâm I(-4; -3), bán kính R=4. Mệnh đề B và C đúng.
  • Kiểm tra điểm M(-1, 0): $(-1)^2+0^2+8(-1)+6(0)+9 = 1 – 8 + 9 = 2 neq 0$. Vậy (C) không đi qua M. Mệnh đề D sai.
• Đáp án: D. (C) đi qua điểm M(-1; 0).

Câu 9: Cho đường tròn $(C): 2x^2 + 2y^2 – 4x + 8y + 1 = 0$. Mệnh đề nào sau đây đúng?

• Phân tích: Chia cho 2: $x^2 + y^2 – 2x + 4y + 1/2 = 0$.
  $a=1, b=-2, c=1/2$. Tâm $I(1; -2)$. Bán kính $R = sqrt{1^2 + (-2)^2 – 1/2} = sqrt{1+4-1/2} = sqrt{9/2} = 3/sqrt{2} = 3sqrt{2}/2$.
  • Kiểm tra trục Oy (x=0): $2y^2 + 8y + 1 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt ($y = frac{-8 pm sqrt{64-8}}{4}$). Vậy (C) cắt trục Oy. Mệnh đề A sai.
  • Kiểm tra trục Ox (y=0): $2x^2 – 4x + 1 = 0$. Phương trình này có hai nghiệm phân biệt ($x = frac{4 pm sqrt{16-8}}{4}$). Vậy (C) cắt trục Ox. Mệnh đề B đúng.
  • Tâm I(1; -2), không phải (2; -4). Mệnh đề C sai.
  • Bán kính $R = 3sqrt{2}/2 neq sqrt{19}$. Mệnh đề D sai.
• Đáp án: B. (C) cắt trục Ox tại hai điểm.

Câu 10: Đường tròn $x^2 + y^2 – 6x – 8y = 0$ có bán kính bằng bao nhiêu?

• Phân tích: $a=3, b=4, c=0$. $R = sqrt{3^2 + 4^2 – 0} = sqrt{9+16} = sqrt{25} = 5$.
• Đáp án: C. 5.

Câu 11: Đường tròn $x^2 + y^2 – 5y = 0$ có bán kính bằng bao nhiêu?

• Phân tích: $a=0, b=5/2, c=0$. $R = sqrt{0^2 + (5/2)^2 – 0} = sqrt{25/4} = 5/2$.
• Đáp án: C. 5/2.

Câu 12: Đường tròn $x^2 + y^2 + sqrt{2}x – sqrt{3}y = 0$ có tâm là điểm nào?

• Phân tích: Hệ số của $x$ là $sqrt{2}$, hệ số của $y$ là $-sqrt{3}$. Ta có $2a = sqrt{2} Rightarrow a = sqrt{2}/2$. $2b = -sqrt{3} Rightarrow b = -sqrt{3}/2$. Tâm $I(sqrt{2}/2; -sqrt{3}/2)$.
  (Lưu ý: Có sự không nhất quán giữa đề bài và các đáp án. Nếu phương trình là $x^2 + y^2 + sqrt{2}x – sqrt{3}y = 0$ thì tâm là $(sqrt{2}/2, -sqrt{3}/2)$. Nếu theo đáp án B là $(-sqrt{2}/2; 0)$, thì phương trình phải là $x^2 + y^2 + sqrt{2}x = 0$ hoặc tương tự. Giả sử đề bài có lỗi đánh máy và muốn hỏi về tâm $I(-sqrt{2}/2; 0)$ thì phương trình phải có dạng $x^2+y^2+sqrt{2}x=0$ hoặc $x^2+y^2-sqrt{2}x=0$ tùy thuộc vào dấu của $a$. Tuy nhiên, với đề bài như đã cho, ta có tâm $I(sqrt{2}/2; -sqrt{3}/2)$.)
  Nếu ta giả định đáp án B là đúng, tức là tâm $I(-sqrt{2}/2; 0)$, thì phương trình tương ứng sẽ là $x^2+y^2+sqrt{2}x=0$.
  Dựa vào các đáp án, có khả năng đề bài đã bị sai sót. Tuy nhiên, nếu xét theo đáp án B, ta có thể suy luận ngược lại.
• Đáp án (theo suy luận dựa trên đáp án): B. $(-sqrt{2}/2; 0)$.

Câu 13: Đường tròn $2x^2 + 2y^2 – 8x + 4y – 1 = 0$ có tâm là điểm nào?

• Phân tích: Chia cho 2: $x^2 + y^2 – 4x + 2y – 1/2 = 0$. $a=2, b=-1$. Tâm $I(2; -1)$.
• Đáp án: D. (2; -1).

Câu 14: Cho phương trình $x^2 + y^2 – 8mx + 6y + 9 = 0$. Tìm điều kiện của $m$ để phương trình trên là phương trình đường tròn?

• Phân tích: $a=4m, b=-3, c=9$. Điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$.
  $(4m)^2 + (-3)^2 – 9 > 0 Rightarrow 16m^2 + 9 – 9 > 0 Rightarrow 16m^2 > 0 Rightarrow m neq 0$.
• Đáp án: C. $m neq 0$.

Câu 15: Cho phương trình $x^2 + y^2 – 6mx + 8ny – 1 = 0$. Tìm $m$ và $n$ để phương trình trên là phương trình đường tròn tâm $I(-6; 8)$?

• Phân tích: Phương trình có dạng $x^2 + y^2 – 2ax – 2by + c = 0$.
  Ở đây, $-2a = -6m Rightarrow a = 3m$.
  $-2b = 8n Rightarrow b = -4n$.
  $c = -1$.
  Tâm đường tròn là $I(a; b) = I(3m; -4n)$.
  Để tâm là $I(-6; 8)$, ta có:
  $3m = -6 Rightarrow m = -2$.
  $-4n = 8 Rightarrow n = -2$.
  Kiểm tra điều kiện $a^2+b^2-c > 0$: $(3m)^2 + (-4n)^2 – (-1) = 9m^2 + 16n^2 + 1$. Với $m=-2, n=-2$, ta có $9(-2)^2 + 16(-2)^2 + 1 = 9(4) + 16(4) + 1 = 36 + 64 + 1 = 101 > 0$.
• Đáp án: B. m = -2; n = -2.

Câu 16: Phương trình nào sau đây là phương trình đường tròn?

• Phân tích:
  • A: $x^2+y^2-x-y+9=0$. $a=1/2, b=1/2, c=9$. $a^2+b^2-c = (1/2)^2+(1/2)^2-9 = 1/4+1/4-9 = 1/2-9 < 0$. Loại.
  • B: $x^2+y^2-x=0$. $a=1/2, b=0, c=0$. $a^2+b^2-c = (1/2)^2+0^2-0 = 1/4 > 0$. Là phương trình đường tròn.
  • C: $x^2+y^2-2xy-1=0$. Có số hạng $-2xy$, không phải dạng chuẩn. Loại.
  • D: $x^2-y^2-2x+3y-1=0$. Có $-y^2$, không phải dạng chuẩn. Loại.
• Đáp án: B. $x^2 + y^2 – x = 0$.

Câu 17: Cho phương trình $x^2 + y^2 – 2x + 2my + 10 = 0$. Có bao nhiêu giá trị $m$ nguyên dương không vượt quá 10 để phương trình là của đường tròn?

• Phân tích: $a=1, b=-m, c=10$. Điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$.
  $1^2 + (-m)^2 – 10 > 0 Rightarrow 1 + m^2 – 10 > 0 Rightarrow m^2 – 9 > 0 Rightarrow m^2 > 9$.
  Do $m$ là nguyên dương, $m > 0$. Vậy $m > 3$.
  Các giá trị nguyên dương của $m$ không vượt quá 10 là: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10. Có 7 giá trị.
• Đáp án: C. 7.

Câu 18: Cho phương trình $x^2 + y^2 – 2(m + 1)x + 4y – 1 = 0$. Tìm giá trị $m$ để phương trình là đường tròn có bán kính nhỏ nhất.

• Phân tích: $a=m+1, b=-2, c=-1$. Điều kiện $a^2 + b^2 – c > 0$: $(m+1)^2 + (-2)^2 – (-1) = (m+1)^2 + 4 + 1 = (m+1)^2 + 5 > 0$. Luôn đúng với mọi $m$.
  Bán kính $R = sqrt{(m+1)^2 + 5}$.
  Để $R$ nhỏ nhất, ta cần $(m+1)^2$ nhỏ nhất. Giá trị nhỏ nhất của $(m+1)^2$ là 0, xảy ra khi $m+1 = 0 Rightarrow m = -1$.
• Đáp án: B. m = -1.

Tài liệu tham khảo

• App VietJack trên Android
• App VietJack trên iOS