Trong không gian Oxyz, việc xác định phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng là một bài toán quan trọng trong chương trình Toán lớp 12. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết và các ví dụ minh họa để giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết dạng bài tập này.
TÓM TẮT
A. Phương Pháp Giải
Có hai phương pháp chính để tìm phương trình đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q):
Cách 1: Sử dụng Véctơ Chỉ Phương
- Xác định véctơ chỉ phương của đường thẳng: Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau, véctơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến chính là tích có hướng của hai véctơ pháp tuyến của hai mặt phẳng đó. Gọi $vec{n_P}$ và $vec{n_Q}$ là hai véctơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) và (Q). Khi đó, véctơ chỉ phương của đường thẳng giao tuyến là $vec{u} = [vec{n_P}, vec{n_Q}]$.
- Tìm một điểm thuộc đường thẳng: Chọn một điểm M bất kỳ thuộc đường thẳng giao tuyến. Điểm này có tọa độ là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
- Viết phương trình đường thẳng: Sử dụng điểm M đã tìm được và véctơ chỉ phương $vec{u}$ để viết phương trình tham số hoặc phương trình chính tắc của đường thẳng.
Cách 2: Sử dụng Hệ Phương Trình
- Thiết lập hệ phương trình: Đường thẳng d là giao tuyến của hai mặt phẳng cắt nhau (P) và (Q) khi và chỉ khi mọi điểm M(x; y; z) thuộc d đều là nghiệm của hệ phương trình gồm phương trình của hai mặt phẳng (P) và (Q).
$$
begin{cases}
text{Phương trình mặt phẳng (P)}
text{Phương trình mặt phẳng (Q)}
end{cases}
$$ - Tìm phương trình tham số: Đặt một trong các tọa độ (x, y, hoặc z) bằng tham số t (ví dụ: $x = t$). Sau đó, thay giá trị này vào hệ phương trình để rút các tọa độ còn lại theo t. Từ đó suy ra phương trình tham số của đường thẳng d.
B. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha): x – 3y + z = 0$ và $(alpha’): x + y – z + 4 = 0$. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
-
Cách 1:
- Véctơ pháp tuyến của $(alpha)$ là $vec{n_alpha} = (1; -3; 1)$.
- Véctơ pháp tuyến của $(alpha’)$ là $vec{n_{alpha’}} = (1; 1; -1)$.
- Véctơ chỉ phương của d là $vec{u} = [vec{nalpha}, vec{n{alpha’}}] = (2; 2; 4)$. Ta có thể chọn véctơ chỉ phương khác cùng phương là $vec{u’} = (1; 1; 2)$.
- Tìm một điểm thuộc d bằng cách giải hệ phương trình:
$$
begin{cases}
x – 3y + z = 0
x + y – z + 4 = 0
end{cases}
$$
Đặt $y = 0$, ta có hệ:
$$
begin{cases}
x + z = 0
x – z + 4 = 0
end{cases}
$$
Cộng hai phương trình: $2x + 4 = 0 Rightarrow x = -2$.
Thay $x = -2$ vào phương trình đầu: $-2 + z = 0 Rightarrow z = 2$.
Vậy ta có điểm $M(-2; 0; 2)$ thuộc đường thẳng d. - Phương trình tham số của d là:
$$
begin{cases}
x = -2 + t
y = 0 + t
z = 2 + 2t
end{cases}
$$
Tương ứng với đáp án C.
-
Cách 2:
Giải hệ phương trình:
$$
begin{cases}
x – 3y + z = 0 quad (*)
x + y – z + 4 = 0 quad (*)
end{cases}
$$
Cộng () và (): $2x – 2y + 4 = 0 Rightarrow x – y + 2 = 0 Rightarrow x = y – 2$.
Thay $x = y – 2$ vào phương trình (): $(y – 2) + y – z + 4 = 0 Rightarrow 2y – z + 2 = 0 Rightarrow z = 2y + 2$.
Đặt $y = t$, ta có:
$$
begin{cases}
x = t – 2
y = t
z = 2t + 2
end{cases}
$$
Đây là phương trình tham số của d, tương ứng với đáp án C.
Ví dụ 2: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, gọi d là giao tuyến của mặt phẳng (P): $y – 2z + 3 = 0$ và mặt phẳng tọa độ (Oyz). Viết phương trình đường thẳng d.
- Mặt phẳng (Oyz) có phương trình $x = 0$.
- Ta có hệ phương trình:
$$
begin{cases}
x = 0
y – 2z + 3 = 0
end{cases}
$$
Từ phương trình thứ hai, ta có $y = 2z – 3$.
Đặt $z = t$, ta có phương trình tham số của d:
$$
begin{cases}
x = 0
y = 2t – 3
z = t
end{cases}
$$
Đây là phương trình tham số của d, tương ứng với đáp án A.
Ví dụ 3: Viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; -1) và song song với đường thẳng giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha): x + y – z + 3 = 0$ và $(alpha’): 2x – y + 5z – 4 = 0$.
- Tìm véctơ chỉ phương của giao tuyến hai mặt phẳng $(alpha)$ và $(alpha’)$:
- $vec{n_alpha} = (1; 1; -1)$
- $vec{n_{alpha’}} = (2; -1; 5)$
- Véctơ chỉ phương của giao tuyến là $vec{u} = [vec{nalpha}, vec{n{alpha’}}] = (15 – (-1)(-1); (-1)2 – 15; 1(-1) – 12) = (4; -7; -3)$.
- Vì đường thẳng d song song với giao tuyến này nên d cũng có véctơ chỉ phương là $vec{u} = (4; -7; -3)$.
- Đường thẳng d đi qua điểm A(1; 2; -1) và có véctơ chỉ phương $vec{u} = (4; -7; -3)$.
- Phương trình đường thẳng d là:
$$
begin{cases}
x = 1 + 4t
y = 2 – 7t
z = -1 – 3t
end{cases}
$$
Tương ứng với đáp án C.
C. Bài Tập Vận Dụng
Câu 1: Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz; gọi d là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): $2x + y – z – 3 = 0$ và (Q): $x + y + z – 1 = 0$. Viết phương trình tham số của đường thẳng d.
- Đáp án: D.
$$
begin{cases}
x = 1 + t
y = 2 – 2t
z = -t
end{cases}
$$
Câu 2: Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): $x + y – z – 2 = 0$ và (Q): $2x + 3y – z = 0$.
- Đáp án: C.
$$
begin{cases}
x = -1 + 2t
y = 1 – t
z = t
end{cases}
$$
Câu 3: Đường thẳng $Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha): x + 2y + z – 1 = 0$ và $(beta): x – y – z + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$.
- Đáp án: C.
$$
begin{cases}
x = -1 + t
y = 1 – 2t
z = 3t
end{cases}
$$
Câu 4: Viết phương trình đường thẳng d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng $x – y + z – 4 = 0$ và $3x – y + z – 1 = 0$.
- Đáp án: B.
$$
begin{cases}
x = 3 + t
y = 2t
z = 1 + t
end{cases}
$$
Câu 5: Viết phương trình đường thẳng d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng $3x – y + z – 2 = 0$ và $x + 4y – 5 = 0$.
- Đáp án: B.
$$
begin{cases}
x = 1 + t
y = 1
z = -2 – 11t
end{cases}
$$
D. Bài Tập Tự Luyện
Bài 1. Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): $2x + y – z – 3 = 0$ và (Q): $x + y + z – 1 = 0$.
Bài 2. Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của hai mặt phẳng (P): $x + y – z – 2 = 0$ và (Q): $2x + 3y – z = 0$.
Bài 3. Đường thẳng $Delta$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $(alpha): x + 2y + z – 1 = 0$ và $(beta): x – y – z + 2 = 0$. Viết phương trình đường thẳng $Delta$.
Bài 4. Viết phương trình đường thẳng d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng $x – y + z – 4 = 0$ và $3x – y + z – 1 = 0$.
Bài 5. Viết phương trình đường thẳng d biết d là giao tuyến của hai mặt phẳng $3x – y + z – 2 = 0$ và $x + 4y – 5 = 0$.
Bài giảng: Cách viết phương trình đường thẳng nâng cao – Cô Nguyễn Phương Anh (Giáo viên VietJack)
(199k) Xem Khóa học Toán 12 KNTTXem Khóa học Toán 12 CDXem Khóa học Toán 12 CTST
Xem thêm các dạng bài tập Toán lớp 12 ôn thi Tốt nghiệp có lời giải hay khác:
TÀI LIỆU FILE WORD DÀNH CHO GIÁO VIÊN VÀ PHỤ HUYNH LỚP 12
- Bộ giáo án, Đề thi tốt nghiệp THPT, ĐGNL các trường các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/
- Hỗ trợ zalo: VietJack Official
- Tổng đài hỗ trợ đăng ký : 084 283 45 85
Đã có app VietJack trên điện thoại, giải bài tập SGK, SBT Soạn văn, Văn mẫu, Thi online, Bài giảng…. miễn phí. Tải ngay ứng dụng trên Android và iOS.
[
[
Theo dõi chúng tôi miễn phí trên mạng xã hội facebook và youtube:
Nếu thấy hay, hãy đown và chia sẻ nhé! Các bình luận không phù hợp với nội quy bình luận trang web sẽ bị cấm bình luận vĩnh viễn.
phuong-trinh-duong-thang-trong-khong-gian.jsp
Giải bài tập lớp 12 sách mới các môn học
