Hình lăng trụ đứng là một khối hình học quen thuộc trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là ở bậc lớp 7. Việc nắm vững công thức tính diện tích xung quanh, diện tích toàn phần và thể tích của hình lăng trụ đứng là vô cùng quan trọng để giải quyết các bài toán liên quan. Bài viết này sẽ cung cấp một cách chi tiết và dễ hiểu nhất về các công thức này, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập thực hành, giúp học sinh củng cố kiến thức và nâng cao kỹ năng giải toán.
I. Công Thức Tính Diện Tích và Thể Tích Hình Lăng Trụ Đứng
1. Diện Tích Xung Quanh (Sxq)
Diện tích xung quanh của hình lăng trụ đứng được tính bằng chu vi đáy nhân với chiều cao của lăng trụ.
-
Công thức tổng quát:
$S{xq} = C{đáy} times h$Trong đó:
- $C_{đáy}$: Chu vi của mặt đáy hình lăng trụ.
- $h$: Chiều cao của hình lăng trụ đứng (bằng độ dài cạnh bên).
-
Các trường hợp cụ thể:
- Đáy là tam giác: Nếu tam giác đáy có độ dài ba cạnh là $a, b, c$, thì $C_{đáy} = a + b + c$.
- Đáy là tứ giác: Nếu tứ giác đáy có độ dài bốn cạnh là $a, b, c, d$, thì $C_{đáy} = a + b + c + d$.
- Đáy là hình chữ nhật/hình vuông: Nếu đáy là hình chữ nhật có chiều dài $l$ và chiều rộng $w$, thì $C{đáy} = 2(l + w)$. Nếu đáy là hình vuông có cạnh $a$, thì $C{đáy} = 4a$.
2. Thể Tích (V)
Thể tích của hình lăng trụ đứng bằng diện tích đáy nhân với chiều cao của lăng trụ.
-
Công thức tổng quát:
$V = S_{đáy} times h$Trong đó:
- $S_{đáy}$: Diện tích của mặt đáy hình lăng trụ.
- $h$: Chiều cao của hình lăng trụ đứng.
-
Các trường hợp cụ thể:
- Đáy là tam giác: Diện tích tam giác được tính theo các công thức tương ứng (ví dụ: tam giác vuông có diện tích bằng nửa tích hai cạnh góc vuông).
- Đáy là hình chữ nhật: $S_{đáy} = l times w$.
- Đáy là hình vuông: $S_{đáy} = a^2$.
II. Ví Dụ Minh Họa
Để hiểu rõ hơn về cách áp dụng các công thức trên, chúng ta cùng xem xét các ví dụ sau:
Ví dụ 1: Cho hình lăng trụ đứng tam giác với hai đáy là tam giác vuông có độ dài hai cạnh góc vuông là 30 cm, 40 cm và cạnh huyền là 50 cm. Chiều cao của lăng trụ là 60 cm. Tính diện tích xung quanh và thể tích của lăng trụ đứng này.
-
Giải:
- Chu vi đáy ($C_{đáy}$): $30 + 40 + 50 = 120$ cm.
- Diện tích đáy ($S_{đáy}$): $frac{1}{2} times 30 times 40 = 600$ cm$^2$.
- Diện tích xung quanh ($S{xq}$): $C{đáy} times h = 120 times 60 = 7200$ cm$^2$.
- Thể tích ($V$): $S_{đáy} times h = 600 times 60 = 36000$ cm$^3$.
Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng lớp 7 (hay, chi tiết)
Ví dụ 2: Tính diện tích xung quanh của một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang với độ dài các cạnh đáy lần lượt là 4 cm, 4 cm, 7 cm, 5 cm và chiều cao của lăng trụ là 6 cm.
-
Giải:
- Chu vi đáy ($C_{đáy}$): $4 + 4 + 7 + 5 = 20$ cm.
- Diện tích xung quanh ($S{xq}$): $C{đáy} times h = 20 times 6 = 120$ cm$^2$.
Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng lớp 7 (hay, chi tiết)
Ví dụ 3: Cho một hình lăng trụ đứng tứ giác có diện tích xung quanh là 450 cm$^2$ và chu vi đáy là 50 cm. Hãy tính chiều cao của hình lăng trụ đứng đó.
- Giải:
- Áp dụng công thức $S{xq} = C{đáy} times h$, ta có:
- Chiều cao ($h$): $S{xq} div C{đáy} = 450 div 50 = 9$ cm.
III. Bài Tập Tự Luyện
Để củng cố kiến thức, học sinh có thể thực hành giải các bài tập sau:
Bài 1: Một lăng trụ đứng có đáy là tam giác với độ dài ba cạnh lần lượt là 4 cm, 5 cm, 6 cm. Chiều cao của lăng trụ là 10 cm. Hãy tính:
a) Diện tích xung quanh của hình lăng trụ.
b) Diện tích toàn phần (diện tích xung quanh cộng với diện tích hai đáy).
c) Thể tích của hình lăng trụ.
Bài 2: Tính thể tích của một hình lăng trụ đứng có đáy là hình thoi với hai đường chéo lần lượt là 15 cm và 30 cm, biết chiều cao của hình lăng trụ là 15.75 cm.
Bài 3: Một chiếc lều trại có hình dạng lăng trụ đứng với đáy là một tam giác cân. Chiều cao của lều là 2m. Đáy lều có cạnh đáy 3m và hai cạnh bên 2.5m. Tính tổng diện tích tấm bạt cần dùng để phủ kín toàn bộ lều (không tính mặt đất).
Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng lớp 7 (hay, chi tiết)
Bài 4: Một cái bục hình lăng trụ đứng có đáy là hình thang cân với các cạnh đáy lần lượt là 10 cm và 20 cm, cạnh bên là 13 cm. Chiều cao của đáy thang là 12 cm. Chiều cao của lăng trụ là 15 cm.
a) Tính diện tích cần phải sơn nếu người ta muốn sơn tất cả các mặt của cái bục.
b) Tính thể tích cái bục.
Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng lớp 7 (hay, chi tiết)
Bài 5: Người ta đào một đoạn mương có dạng hình lăng trụ đứng tứ giác. Chiều dài của mương là 20 m. Mặt cắt ngang của mương là một hình thang có chiều cao 1.5 m, đáy lớn (bề rộng mặt) là 1.8 m và đáy bé (đáy mương) là 1.2 m. Tính thể tích đất đã phải đào lên.
Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng lớp 7 (hay, chi tiết)
Bài 6: Một cái bánh ngọt có dạng hình lăng trụ đứng tam giác đều với cạnh đáy là 10 cm và chiều cao bánh là 8 cm.
a) Tính thể tích của cái bánh.
b) Nếu cần làm một chiếc hộp để đựng vừa chiếc bánh này, hỏi diện tích vật liệu cần dùng là bao nhiêu (coi mép dán không đáng kể)?
Công thức tính diện tích và thể tích của hình lăng trụ đứng lớp 7 (hay, chi tiết)
IV. Tài Liệu Tham Khảo
- Các bài viết về công thức Toán lớp 7 trên VietJack.
- Các tài liệu giáo dục và bài giảng chuyên đề Toán học.
Việc hiểu rõ và vận dụng thành thạo các công thức tính diện tích và thể tích hình lăng trụ đứng sẽ giúp các em học sinh tự tin hơn trong học tập và giải quyết các bài toán thực tế liên quan đến khối hình học này.
