Cách Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng: Hướng Dẫn Chi Tiết

Trong chương trình Toán học lớp 11, mối quan hệ vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng là một chủ đề quan trọng, xuất hiện thường xuyên trong các bài kiểm tra và thi cử. Để giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin giải quyết dạng bài tập này, bài viết này sẽ cung cấp phương pháp chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng một cách chi tiết và dễ hiểu nhất. Chúng ta sẽ đi sâu vào các cách tiếp cận, các ví dụ minh họa cụ thể, cùng với các bài tập vận dụng để củng cố kiến thức.

A. Phương Pháp Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Để chứng minh một đường thẳng $d$ vuông góc với một mặt phẳng $(alpha)$, tức là $d perp (alpha)$, chúng ta có thể áp dụng một trong các phương pháp sau đây:

1. Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc Với Hai Đường Thẳng Cắt Nhau Trong Mặt Phẳng

Phương pháp này dựa trên định nghĩa cơ bản của sự vuông góc giữa đường thẳng và mặt phẳng. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với hai đường thẳng $a$ và $b$ bất kỳ nằm trong mặt phẳng $(alpha)$ và hai đường thẳng này cắt nhau tại một điểm, thì $d$ sẽ vuông góc với $(alpha)$.

Minh họa phương pháp 1

2. Chứng Minh Đường Thẳng Vuông Góc Với Một Đường Thẳng Khác Mà Đường Thẳng Này Lại Vuông Góc Với Mặt Phẳng

Cách tiếp cận này sử dụng tính chất bắc cầu của quan hệ vuông góc. Nếu đường thẳng $d$ vuông góc với một đường thẳng $a$, và đường thẳng $a$ này đã được chứng minh là vuông góc với mặt phẳng $(alpha)$, thì ta có thể kết luận $d perp (alpha)$.

3. Chứng Minh Đường Thẳng Song Song Với Một Mặt Phẳng Khác Mà Mặt Phẳng Này Lại Vuông Góc Với Mặt Phẳng Đang Xét

Phương pháp này tận dụng mối liên hệ giữa quan hệ song song và vuông góc. Nếu đường thẳng $d$ song song với mặt phẳng $(Q)$, và mặt phẳng $(Q)$ lại vuông góc với mặt phẳng $(alpha)$, thì $d$ sẽ vuông góc với $(alpha)$.

B. Phương Pháp Chứng Minh Hai Đường Thẳng Vuông Góc

Bên cạnh việc chứng minh đường thẳng vuông góc với mặt phẳng, việc chứng minh hai đường thẳng vuông góc với nhau cũng là một kỹ năng quan trọng và thường xuyên được sử dụng trong các bài toán liên quan. Dưới đây là các cách để chứng minh $d perp a$:

• Sử dụng định nghĩa hoặc các dấu hiệu nhận biết: Chứng minh trực tiếp $d perp a$ dựa trên các kiến thức đã học.
• Dùng tính chất đường thẳng vuông góc với mặt phẳng: Nếu $d$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$ và đường thẳng $a$ nằm trong mặt phẳng $(P)$, thì $d perp a$.
• Áp dụng định lý ba đường vuông góc: Định lý này liên hệ giữa đường vuông góc, đường xiên và đường chiếu, giúp xác định mối quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng trong không gian.
• Sử dụng các công cụ vector hoặc tọa độ: Trong trường hợp bài toán cho phép hoặc thuận lợi, việc sử dụng vector chỉ phương hoặc tọa độ đỉnh có thể giúp chứng minh hai đường thẳng vuông góc thông qua tích vô hướng bằng 0.

C. Ví Dụ Minh Họa

Để hiểu rõ hơn về các phương pháp trên, chúng ta cùng xem xét một số ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Cho hình chóp S.ABC có SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và tam giác ABC vuông tại B. AH là đường cao của tam giác SAB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. SA ⊥ BC
B. AH ⊥ BC
C. AH ⊥ AC
D. AH ⊥ SC

• Hướng dẫn giải:

  • Vì SA ⊥ (ABC) nên SA vuông góc với mọi đường thẳng nằm trong (ABC) đi qua A. Do AB ⊥ BC nên SA ⊥ BC. (A đúng).
  • Vì SA ⊥ BC và AB ⊥ BC, ta có BC vuông góc với mặt phẳng (SAB). Do AH là đường cao của tam giác SAB nên AH nằm trong (SAB). Vì vậy, BC vuông góc với mọi đường thẳng trong (SAB) đi qua H, bao gồm AH. Vậy AH ⊥ BC. (B đúng).
  • Vì AH ⊥ BC và BC là đường thẳng trong mặt phẳng (ABC), ta cần xem xét mối quan hệ giữa AH và AC. Tam giác ABC vuông tại B, AH là đường cao của tam giác SAB. Không có thông tin trực tiếp để khẳng định AH ⊥ AC.
  • Trong tam giác SAB vuông tại A, AH là đường cao. Ta có SB là cạnh huyền.
  • Xét mặt phẳng (SAC). SA ⊥ AC.

  Dựa trên phân tích, khẳng định C có khả năng sai cao nhất. Khi kiểm tra lại, ta thấy AH không nhất thiết vuông góc với AC.

Ví dụ 1, Hình 1Ví dụ 1, Hình 2

Ví dụ 2: Cho tứ diện SABC có ABC là tam giác vuông tại B và SA ⊥ (ABC). Khẳng định nào sau đây là đúng nhất?

• Hướng dẫn giải:

  • Vì SA ⊥ (ABC), nên SA vuông góc với AB và AC.
  • Vì AB ⊥ BC và SA ⊥ AB, mặt phẳng (SAB) chứa AB và SA, nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAB).
  • Do đó, BC vuông góc với SB.

  Khẳng định đúng là BC ⊥ SB.

Ví dụ 2, Giải thíchVí dụ 2, Giải thích thêm

Ví dụ 3: Cho tứ diện ABCD có AB = AC và DB = DC. Khẳng định nào sau đây đúng?

• Hướng dẫn giải:

  • Gọi E là trung điểm của BC.
  • Vì DB = DC, tam giác DCB cân tại D có DE là đường trung tuyến nên DE đồng thời là đường cao: DE ⊥ BC.
  • Vì AB = AC, tam giác ABC cân tại A có AE là đường trung tuyến nên AE đồng thời là đường cao: AE ⊥ BC.
  • Do cả DE và AE đều vuông góc với BC và cùng nằm trong mặt phẳng (ADE), nên mặt phẳng (ADE) vuông góc với BC.
  • AD là đường thẳng nằm trong mặt phẳng (ADE) và vuông góc với BC. Do đó, AD ⊥ BC.

  Khẳng định đúng là BC ⊥ AD.

Ví dụ 3, Minh họa

Ví dụ 4: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC) và AB ⊥ BC. Số các mặt của tứ diện S.ABC là tam giác vuông là bao nhiêu?

• Hướng dẫn giải:

  • Vì AB ⊥ BC và SA ⊥ AB, SA ⊥ BC (do SA ⊥ (ABC)), nên tam giác ABC vuông tại B, tam giác SAB vuông tại A, tam giác SAC vuông tại A.
  • Mặt khác, ta cần xem xét tam giác SBC. Vì BC ⊥ (SAB) nên BC ⊥ SB. Do đó, tam giác SBC vuông tại B.

  Vậy, cả bốn mặt của tứ diện S.ABC đều là tam giác vuông.

  Chọn D.

Ví dụ 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây sai?

• Hướng dẫn giải:

  • Vì SA = SC, tam giác SAC cân tại S. O là trung điểm của AC (tâm hình thoi), nên SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao: SO ⊥ AC.
  • Tương tự, vì SB = SD, tam giác SBD cân tại S. O là trung điểm của BD, nên SO là đường trung tuyến đồng thời là đường cao: SO ⊥ BD.
  • Vì SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và BD trong mặt phẳng (ABCD), nên SO ⊥ (ABCD). (A, B, C đúng).
  • Xét mặt phẳng (SBD). Để chứng minh CD ⊥ (SBD), ta cần chứng minh CD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SBD). Tuy nhiên, CD là một cạnh của hình thoi, và không có cơ sở để khẳng định CD vuông góc với BD hoặc SB.

  Khẳng định sai là CD ⊥ (SBD).

Ví dụ 5, Minh họa

D. Bài Tập Vận Dụng

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể tham khảo các bài tập sau đây:

Câu 1: Cho tứ diện ABCD có AB ⊥ CD và AC ⊥ BD. Gọi H là hình chiếu vuông góc của A lên mặt phẳng (BCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. H là trực tâm tam giác BCD
B. CD ⊥ (ABH)
C. AD ⊥ BC
D. Các khẳng định trên đều sai.

• Lời giải:

  • Ta có AB ⊥ CD và AH ⊥ CD (do AH là hình chiếu). Suy ra CD vuông góc với mặt phẳng (ABH). Vậy CD ⊥ (ABH) (B đúng).
  • Do CD ⊥ (ABH), nên CD vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABH) đi qua H, trong đó có BH. Vậy CD ⊥ BH.
  • Tương tự, ta có AC ⊥ BD và AH ⊥ BD. Suy ra BD vuông góc với mặt phẳng (ACH). Vậy BD ⊥ CH.
  • Do BD ⊥ (ACH), nên BD vuông góc với mọi đường thẳng trong (ACH) đi qua H, trong đó có AH.
  • Từ CD ⊥ AB và BD ⊥ AC, ta có thể suy ra AD ⊥ BC.
  • Vì BH ⊥ CD và CH ⊥ BD, H là trực tâm tam giác BCD (A đúng).
  • Vì CD ⊥ AB và CD ⊥ BH nên CD ⊥ (ABH).
  • Vì AC ⊥ BD và AC ⊥ BH nên AC ⊥ (BHD). Suy ra AC ⊥ HD.
  • Vì AB ⊥ CD và AB ⊥ HD nên AB ⊥ (CDH). Suy ra AB ⊥ CH.
  • Từ BH ⊥ CD, CH ⊥ BD, AH ⊥ CD, AH ⊥ BD, suy ra AD ⊥ BC.

  Với các phân tích trên, các khẳng định A, B, C đều đúng. Do đó, đáp án D là sai.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có SA ⊥ (ABC). Gọi H, K lần lượt là trực tâm các tam giác SBC và ABC. Mệnh đề nào sai trong các mệnh đề sau?
A. BC ⊥ (SAH)
B. HK ⊥ (SBC)
C. BC ⊥ (SAB)
D. SH, AK và BC đồng quy

• Lời giải:

  • Vì SA ⊥ BC và AH ⊥ BC (do H là trực tâm tam giác SBC và AH là đường cao), nên BC vuông góc với mặt phẳng (SAH). Vậy BC ⊥ (SAH) (A đúng).
  • Vì BC ⊥ (SAH), BC ⊥ SH và BC ⊥ AH, suy ra BC vuông góc với mọi đường thẳng trong (SAH) đi qua H.
  • Xét tam giác SBC, SH là đường cao nên SH ⊥ BC.
  • Xét tam giác ABC, AK là đường cao nên AK ⊥ BC.
  • Do SH ⊥ BC và AK ⊥ BC, và hai đường thẳng SH, AK cùng nằm trong mặt phẳng chứa BC, điều này là không thể xảy ra trừ khi SH và AK song song hoặc trùng nhau, điều này thường không xảy ra trong trường hợp tổng quát. Tuy nhiên, nếu xét trong mặt phẳng chứa BC, thì hai đường thẳng vuông góc với BC sẽ song song với nhau.
  • Ta cần chứng minh HK ⊥ (SBC).
  • Gọi M là giao điểm của SH và AK. Vì BC ⊥ (SAH), mọi đường thẳng trong mặt phẳng (SAH) cắt BC đều vuông góc với BC. Do đó, AM ⊥ BC.
  • Do SH, AK và BC đồng quy, ta có D đúng.
  • Xét khẳng định C: BC ⊥ (SAB). Điều này chỉ đúng nếu SA ⊥ AB, điều này không được cho trước.

  Khẳng định sai là BC ⊥ (SAB).

Câu 2, Minh họa

Câu 3: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O. Biết SA = SC và SB = SD. Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. SO ⊥ (ABCD)
B. SO ⊥ AC
C. SO ⊥ BD
D. Cả A, B, C đều sai

• Lời giải:

  • Tam giác SAC cân tại S, O là trung điểm AC nên SO ⊥ AC (B đúng).
  • Tam giác SBD cân tại S, O là trung điểm BD nên SO ⊥ BD (C đúng).
  • Vì SO vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và BD trong mặt phẳng (ABCD), nên SO ⊥ (ABCD) (A đúng).

  Do A, B, C đều đúng, nên khẳng định D là sai.

Câu 3, Minh họa

Câu 4: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình thoi tâm O, SA ⊥ (ABCD). Các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. SA ⊥ BD
B. SC ⊥ BD
C. SO ⊥ BD
D. AD ⊥ SC

• Lời giải:

  • Vì SA ⊥ (ABCD), nên SA vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABCD) đi qua A. Do BD là đường chéo của hình thoi, BD nằm trong (ABCD), nên SA ⊥ BD (A đúng).
  • Vì ABCD là hình thoi, AC ⊥ BD.
  • Ta có SA ⊥ BD và AC ⊥ BD. Hai đường thẳng SA và AC cắt nhau tại A và cùng vuông góc với BD, do đó BD vuông góc với mặt phẳng (SAC).
  • Vì BD ⊥ (SAC), nên BD vuông góc với mọi đường thẳng trong (SAC) đi qua giao điểm của BD và (SAC), là O. Do đó BD ⊥ SO (C đúng).
  • Vì BD ⊥ (SAC), nên BD vuông góc với SC. Vậy SC ⊥ BD (B đúng).
  • Xét khẳng định D: AD ⊥ SC. Không có cơ sở trực tiếp để khẳng định điều này.

  Khẳng định sai là AD ⊥ SC.

Câu 4, Minh họa

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, Gọi I; J; K lần lượt là trung điểm của AB, BC và SB. Khẳng định nào sau đây sai?
A. (IJK) // (SAC)
B. BD ⊥ (IJK)
C. Góc giữa SC và BD có số đo 60°
D. BD ⊥ (SAC)

• Lời giải:

  • Trong tam giác ABC, IJ là đường trung bình nên IJ // AC.
  • Trong tam giác SAB, IK là đường trung bình nên IK // SA.
  • Vì IJ // AC và IK // SA, hai cặp đường thẳng song song lần lượt nằm trên hai mặt phẳng khác nhau, nên mặt phẳng (IJK) song song với mặt phẳng (SAC). Vậy (IJK) // (SAC) (A đúng).
  • Vì BD ⊥ AC (hai đường chéo hình vuông) và SA ⊥ BD (do SA ⊥ (ABCD)), nên BD vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau AC và SA trong mặt phẳng (SAC). Do đó, BD ⊥ (SAC) (D đúng).
  • Vì BD ⊥ (SAC) và (IJK) // (SAC), nên BD ⊥ (IJK) (B đúng).
  • Xét khẳng định C: Góc giữa SC và BD. Vì BD ⊥ (SAC), nên góc giữa SC và BD là góc giữa SC và giao tuyến của mặt phẳng chứa BD và SC với (SAC).

  Khẳng định sai là góc giữa SC và BD có số đo 60°.

Câu 5, Minh họa

Câu 6: Cho hình chóp S. ABCD có đáy ABCD là hình vuông, Gọi H là trung điểm của AB và SH ⊥ (ABCD). Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Khẳng định nào sau đây là sai?
A. AC ⊥ SH
B. AC ⊥ KH
C. AC ⊥ (SHK)
D. Cả A, B, C đều sai

• Lời giải:

  • Vì SH ⊥ (ABCD), nên SH vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABCD) đi qua H. Do AC nằm trong (ABCD), ta có SH ⊥ AC (A đúng).
  • Trong tam giác ABD, H là trung điểm AB và K là trung điểm AD, nên HK là đường trung bình của tam giác ABD, suy ra HK // BD.
  • Vì ABCD là hình vuông, AC ⊥ BD.
  • Do AC ⊥ BD và HK // BD, nên AC ⊥ HK (B đúng).
  • Vì AC ⊥ SH và AC ⊥ HK, hai đường thẳng SH và HK cắt nhau tại H và cùng vuông góc với AC, nên AC vuông góc với mặt phẳng (SHK) (C đúng).

  Do A, B, C đều đúng, nên đáp án D là sai.

Câu 7: Cho tứ diện OABC có ba cạnh OA; OB; OC đôi một vuông góc. Gọi H là hình chiếu của O lên mặt phẳng (ABC). Khẳng định nào sau đây sai?

• Lời giải:

  • Vì OA ⊥ OB và OA ⊥ OC, nên OA vuông góc với mặt phẳng (OBC).
  • Do OA ⊥ (OBC), nên OA vuông góc với BC.
  • Tương tự, OB ⊥ (OAC) nên OB ⊥ AC.
  • Và OC ⊥ (OAB) nên OC ⊥ AB.
  • Gọi I là giao điểm của AH và BC. Vì OA ⊥ BC và AI ⊥ BC (do AH là hình chiếu), nên BC vuông góc với mặt phẳng (OAI). Do đó BC ⊥ OI.
  • Tương tự, gọi J là giao điểm của BJ và AC, ta có AC ⊥ OJ.
  • Gọi K là giao điểm của CK và AB, ta có AB ⊥ OK.
  • Trong tam giác OAI, OH là đường cao (do OH ⊥ AI). Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông: $1/OH^2 = 1/OA^2 + 1/OI^2$.
  • Ta cũng có $1/OH^2 = 1/OA^2 + 1/OB^2 + 1/OC^2$.

  Việc xác định điểm H là trực tâm, tâm đường tròn nội tiếp hay ngoại tiếp phụ thuộc vào các cạnh của tam giác ABC. Tuy nhiên, nếu ba cạnh OA, OB, OC đôi một vuông góc, thì H là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Câu 7, Minh họaCâu 7, Giải thích 1Câu 7, Giải thích 2Câu 7, Giải thích 3

Câu 8: Cho hình tứ diện ABCD có AB, BC, CD đôi một vuông góc nhau. Hãy chỉ ra điểm O cách đều bốn điểm A, B, C, D.

• Hướng dẫn giải:

  • Vì AB ⊥ BC và AB ⊥ CD, nên AB vuông góc với mặt phẳng (BCD).
  • Vì BC ⊥ AB và BC ⊥ CD, nên BC vuông góc với mặt phẳng (ACD).
  • Vì CD ⊥ AB và CD ⊥ BC, nên CD vuông góc với mặt phẳng (ABC).
  • Xét tam giác ABD vuông tại A (do AB ⊥ BD). Trung điểm của cạnh huyền BD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABD.
  • Xét tam giác BCD vuông tại C (do BC ⊥ CD và BC ⊥ BD). Trung điểm của cạnh huyền BD là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCD.
  • Do đó, trung điểm của BD cách đều A, B, D và cách đều B, C, D. Suy ra trung điểm của BD cách đều cả bốn điểm A, B, C, D.

  Chọn đáp án C: O là trung điểm cạnh BD.

Câu 8, Minh họaCâu 8, Minh họa thêm

Câu 9: Cho tứ diện ABCD. Vẽ AH ⊥ (BCD). Biết H là trực tâm tam giác BCD. Khẳng định nào sau đây không sai?
A. AB = CD
B. AC = BD
C. AB ⊥ CD
D. CD ⊥ BB

• Lời giải:

  • Vì AH ⊥ (BCD), nên AH vuông góc với mọi đường thẳng trong (BCD) đi qua H. Do H là trực tâm tam giác BCD, ta có BH ⊥ CD và CH ⊥ BD.
  • Do AH ⊥ CD và BH ⊥ CD, hai đường thẳng AH và BH cùng vuông góc với CD và cùng nằm trong mặt phẳng (ABH). Vậy CD vuông góc với mặt phẳng (ABH).
  • Vì CD ⊥ (ABH), nên CD vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABH) đi qua H, bao gồm AB. Do đó, CD ⊥ AB.

  Khẳng định không sai là AB ⊥ CD.

Câu 9, Minh họa

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều và SC = a√2. Gọi H, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB và AD. Khẳng định nào sau đây là sai?.
A. SH ⊥ (ABCD)
B. SH ⊥ HC
C. A, B đều đúng
D. A, B là sai

• Lời giải:

  • Vì H là trung điểm AB và tam giác SAB đều, nên SH là đường cao của tam giác đều SAB, suy ra SH ⊥ AB.
  • Do ABCD là hình vuông, AB ⊥ BC.
  • Vì SH ⊥ AB và BC ⊥ AB, và SH không nằm trong mặt phẳng chứa AB và BC, ta không thể kết luận SH ⊥ (ABCD) chỉ dựa vào SH ⊥ AB. Ta cần thêm thông tin.
  • Tuy nhiên, giả sử đề bài cho SH ⊥ (ABCD). Khi đó A đúng.
  • Nếu SH ⊥ (ABCD), thì SH vuông góc với mọi đường thẳng trong (ABCD) đi qua H. Trong đó có HC. Vậy SH ⊥ HC (B đúng).

  Nếu đề bài thực sự cho SH ⊥ (ABCD), thì cả A và B đều đúng, suy ra C đúng. Nếu A và B sai, thì D đúng. Cần làm rõ giả thiết SH ⊥ (ABCD). Tuy nhiên, dựa vào cấu trúc bài toán, khả năng cao SH là đường cao.

Câu 10, Minh họaCâu 10, Minh họa thêm

Câu 11: Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Đường thẳng AC’ vuông góc với mặt phẳng nào sau đây?
A. ( A’BD)
B. ( A’DC’)
C. ( A’CD’)
D. ( A’B’CD)

• Lời giải:

  • Ta có AC’ ⊥ A’C (hai đường chéo của hình chữ nhật ACC’A’).
  • Ta có AC’ ⊥ A’B’ (do AC’ không song song với A’B’).
  • AC’ ⊥ A’C và AC’ ⊥ BC (do AC’ không song song với BC).
  • Xét mặt phẳng (A’BD). Đường chéo AC’ có thể vuông góc với mặt phẳng này.

  Khi xem xét các mặt phẳng, ta thấy AC’ vuông góc với mặt phẳng (A’BD).

Câu 11, Minh họa

Câu 12: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi, O là giao điểm của 2 đường chéo và SA = SC. Các khẳng định sau, khẳng định nào đúng?
A. SA ⊥ (ABCD)
B. BD ⊥ (SAC)
C. AC ⊥ (SBD)
D. AB ⊥ (SAC)

• Lời giải:

  • Vì SA = SC, tam giác SAC cân tại S. O là trung điểm AC nên SO ⊥ AC.
  • Vì ABCD là hình thoi, AC ⊥ BD.
  • Ta có SO ⊥ AC và BD ⊥ AC. Hai đường thẳng SO và BD cùng vuông góc với AC. Tuy nhiên, chúng không nhất thiết cùng nằm trong một mặt phẳng để suy ra AC ⊥ (SBD).
  • Xét mặt phẳng (SBD). Ta cần chứng minh AC vuông góc với hai đường thẳng cắt nhau trong (SBD). Ta đã có AC ⊥ BD.
  • Vì SA = SC, tam giác SAC cân. O là trung điểm AC. SO là trung tuyến đồng thời là đường cao, SO ⊥ AC.
  • BD ⊥ AC (tính chất hình thoi).
  • Vì AC vuông góc với BD và SO, nên AC vuông góc với mặt phẳng (SBD).

  Khẳng định đúng là AC ⊥ (SBD).

Câu 12, Minh họa

Câu 13: Cho hình chóp S. ABC có đáy ABCD là hình vuông, SA ⊥ (ABCD). Mặt phẳng qua A và vuông góc với SC cắt SB, SC, SD theo thứ tự tại H, M, K. Chọn khẳng định sai trong các khẳng định sau?
A. AK ⊥ HK
B. HK ⊥ AM
C. BD // KH
D. AH ⊥ SB .

• Lời giải:

  • Vì SA ⊥ (ABCD), ta có SA ⊥ SC.
  • Mặt phẳng (AHMK) vuông góc với SC.
  • Xét tam giác SAC vuông tại A. Mặt phẳng (AHMK) đi qua A và vuông góc với SC.
  • Ta có AH ⊥ SB.
  • Vì SA ⊥ (ABCD), ABCD là hình vuông.
  • Xét tam giác SAC vuông tại A. AM là đường cao hạ từ A xuống SC.
  • Ta có BD // AC. Do (AHMK) // SC, và BD // AC, nên BD // HK. Vậy C đúng.
  • Do BD ⊥ AC và BD ⊥ SA, nên BD ⊥ (SAC).
  • Vì BD ⊥ (SAC) và BD // HK, nên BD ⊥ (AHMK).
  • Do BD ⊥ HK, nên HK ⊥ BD.

  Khẳng định sai là AH ⊥ SB.

Câu 13, Minh họaCâu 13, Minh họa thêm

Câu 14: Cho hình chóp S.ABC có ∠BSC = 120°, ∠CSA = 60°, ∠ASB = 90°, SA = SB = SC. Gọi I là hình chiếu vuông góc của S lên mp(ABC). Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. I là trung điểm AB
B. I là trọng tâm tam giác ABC
C. I là trung điểm AC
D. I là trung điểm BC

• Lời giải:
  • Gọi SA = SB = SC = a.
  • Tam giác SAB vuông cân tại S ⇒ AB = a√2.
  • Tam giác CSA có SA = SC = a và góc CSA = 60°, nên tam giác CSA đều ⇒ AC = a.
  • Tam giác BSC có SB = SC = a và góc BSC = 120°. Áp dụng định lý cos cho tam giác BSC: $BC^2 = SB^2 + SC^2 – 2.SB.SC.cos(120^circ) = a^2 + a^2 – 2a^2(-1/2) = 3a^2$ ⇒ $BC = asqrt{3}$.
  • Kiểm tra tam giác ABC: $AC^2 + AB^2 = a^2 + (asqrt{2})^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2 = BC^2$. Vậy tam giác ABC vuông tại A.
  • Vì SA = SB = SC, S cách đều ba đỉnh A, B, C. Do đó, hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.
  • Vì tam giác ABC vuông tại A, tâm đường tròn ngoại tiếp là