Đồ thị hàm số bậc hai dạng y = ax² (với a ≠ 0) là một phần kiến thức quan trọng trong chương trình Toán lớp 9. Việc nắm vững lý thuyết và các dạng bài tập liên quan sẽ giúp học sinh tự tin chinh phục các bài kiểm tra và thi cử. Bài viết này cung cấp kiến thức chuyên sâu về đồ thị hàm số y = ax², bao gồm lý thuyết, cách vẽ và các dạng bài tập thường gặp, kèm theo lời giải chi tiết, giúp bạn đọc hiểu rõ bản chất và áp dụng hiệu quả.
TÓM TẮT
I. Lý thuyết về đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)
1. Đặc điểm đồ thị
Đồ thị của hàm số y = ax² (với a ≠ 0) là một đường cong parabol.
- Đi qua gốc tọa độ: Parabol luôn đi qua điểm O(0, 0).
- Trục đối xứng: Trục Oy (trục tung) là trục đối xứng của parabol.
- Hình dạng:
- Nếu a > 0, parabol có bề lõm hướng lên trên, nằm phía trên trục hoành. Điểm O(0, 0) là điểm thấp nhất của đồ thị.
- Nếu a < 0, parabol có bề lõm hướng xuống dưới, nằm phía dưới trục hoành. Điểm O(0, 0) là điểm cao nhất của đồ thị.
2. Cách vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0)
Để vẽ đồ thị hàm số y = ax² (a ≠ 0), chúng ta thực hiện theo các bước sau:
-
Bước 1: Xác định tập xác định.
Tập xác định của hàm số là R (tập hợp số thực). -
Bước 2: Lập bảng giá trị.
Lập bảng giá trị gồm ít nhất 5 điểm, bao gồm gốc tọa độ O(0,0) và các cặp giá trị đối xứng qua trục Oy. Nên chọn các giá trị x nguyên để dễ vẽ.
Ví dụ với hàm số y = x²:
| x | 0 | 1 | -1 | 2 | -2 |
|—|—|—|—|—|—|
| y = x² | 0 | 1 | 1 | 4 | 4 | -
Bước 3: Vẽ đồ thị.
- Vẽ hệ trục tọa độ Oxy.
- Biểu diễn các điểm đã tính trong bảng giá trị lên mặt phẳng tọa độ.
- Nối các điểm này bằng một đường cong liền mạch, cong đều và đối xứng qua trục Oy để tạo thành parabol.
Đồ thị hàm số y = x²Ví dụ với hàm số y = -(1/2)x²:
| x | 0 | 1 | -1 | 2 | -2 |
|—|—|—|—|—|—|
| y = -(1/2)x² | 0 | -1/2 | -1/2 | -2 | -2 |
Đồ thị hàm số y = -(1/2)x²
II. Các dạng bài tập và lời giải
1. Bài tập xác định giá trị nhỏ nhất/lớn nhất của hàm số
Câu hỏi: Cho hàm số y = ax². Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi x nằm trong một khoảng xác định.
Nguyên tắc giải:
- Quan sát dấu của hệ số a.
- Nếu a > 0, hàm số luôn có giá trị nhỏ nhất là 0 tại x = 0. Nếu khoảng xác định chứa x = 0, giá trị nhỏ nhất là 0. Nếu khoảng không chứa x = 0, giá trị nhỏ nhất sẽ đạt tại một trong hai đầu mút của khoảng (tùy thuộc vào khoảng đó nằm về phía nào của trục tung).
- Nếu a < 0, hàm số luôn có giá trị lớn nhất là 0 tại x = 0. Nếu khoảng xác định chứa x = 0, giá trị lớn nhất là 0. Nếu khoảng không chứa x = 0, giá trị lớn nhất sẽ đạt tại một trong hai đầu mút của khoảng.
Ví dụ 1: Cho hàm số y = ax². Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi x đi từ -2017 đến 2018.
- Lời giải: Hệ số a của đồ thị này dương (giả sử a > 0). Đồ thị có giá trị nhỏ nhất là y = 0 tại x = 0. Vì khoảng [-2017, 2018] chứa x = 0, nên giá trị nhỏ nhất của hàm số là y(0) = 0.
Ví dụ 2: Cho hàm số y = -(1/4)x². Tìm giá trị nhỏ nhất của y khi x đi từ -1 đến 2.
- Lời giải: Hệ số a = -1/4 < 0. Đồ thị có giá trị lớn nhất là 0 tại x = 0.
- Trên đoạn [-1, 0], hàm số đồng biến, giá trị nhỏ nhất đạt tại x = -1: y(-1) = -(1/4)(-1)² = -1/4.
- Trên đoạn, hàm số nghịch biến, giá trị nhỏ nhất đạt tại x = 2: y(2) = -(1/4)(2)² = -1.
- So sánh hai giá trị nhỏ nhất trên hai đoạn, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [-1, 2] là -1, đạt tại x = 2.
2. Bài tập vẽ đồ thị hàm số
Câu hỏi: Vẽ đồ thị hàm số y = ax² trên mặt phẳng tọa độ.
Ví dụ 3: Vẽ đồ thị hàm số y = 2x².
-
Lời giải:
- Tập xác định: R.
- Bảng giá trị:
| x | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
|—|—|—|—|—|—|
| y | 8 | 2 | 0 | 2 | 8 | - Vẽ đồ thị bằng cách nối các điểm A(-2; 8), B(-1; 2), O(0; 0), C(1; 2), D(2; 8).
Đồ thị hàm số y = 2x²
3. Bài tập xác định hệ số a
Câu hỏi: Xác định hệ số a của hàm số y = ax² biết đồ thị đi qua một điểm cho trước.
Ví dụ 4: Cho hàm số y = ax² (a ≠ 0) có đồ thị parabol (P). Xác định a để (P) đi qua điểm M(2, -1).
- Lời giải: Thay tọa độ điểm M(2, -1) vào phương trình y = ax²:
-1 = a * (2)²
-1 = 4a
a = -1/4
Vậy hàm số cần tìm là y = -(1/4)x².
4. Bài tập kết hợp vẽ đồ thị và tìm điểm
Câu hỏi: Vẽ đồ thị hàm số y = ax² và tìm các điểm trên đồ thị thỏa mãn điều kiện cho trước.
Ví dụ 5: Cho hàm số y = 2x² có đồ thị là (P).
a) Vẽ (P) trên hệ trục tọa độ.
b) Tìm các điểm trên (P) có tung độ bằng 6.
- Lời giải:
a) Vẽ đồ thị y = 2x² như Ví dụ 3.
b) Thay y = 6 vào phương trình y = 2x²:
6 = 2x²
x² = 3
x = ±√3
Vậy có hai điểm trên (P) có tung độ bằng 6 là (√3, 6) và (-√3, 6).
III. Tài liệu tham khảo và sản phẩm liên quan
Để nâng cao kiến thức và kỹ năng giải toán, quý độc giả có thể tham khảo các tài liệu và khóa học sau:
- Khoá học Toán 9: Cung cấp kiến thức đầy đủ và hệ thống các dạng bài tập.
- Hơn 20.000 câu trắc nghiệm Toán lớp 9: Thực hành và ôn tập hiệu quả.
- Tài liệu giáo viên: Giáo án, bài giảng Powerpoint, đề thi file Word có đáp án cho các cấp lớp.
VietJack cung cấp ứng dụng học tập trên điện thoại Android và iOS, giúp bạn dễ dàng truy cập tài liệu và giải bài tập mọi lúc, mọi nơi.
