Hai đường thẳng vuông góc là một khái niệm cơ bản nhưng vô cùng quan trọng trong chương trình hình học lớp 7. Hiểu rõ định nghĩa, tính chất và cách vẽ hai đường thẳng vuông góc sẽ tạo nền tảng vững chắc cho việc giải quyết các bài toán phức tạp hơn. Bài viết này sẽ cung cấp một cách chi tiết và dễ hiểu nhất về lý thuyết hai đường thẳng vuông góc, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập thực hành.
A. Lý Thuyết Về Hai Đường Thẳng Vuông Góc
1. Định Nghĩa Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Hai đường thẳng được coi là vuông góc khi chúng cắt nhau tại một điểm và một trong bốn góc tạo thành là góc vuông (90 độ). Ký hiệu hai đường thẳng AB và CD vuông góc với nhau là $AB perp CD$.
Ví dụ: Nếu đường thẳng AB cắt đường thẳng CD tại điểm O và tạo thành góc $angle AOC = 90^circ$, thì ta nói AB vuông góc với CD tại O.
2. Tính Duy Nhất Của Đường Vuông Góc
Một trong những tính chất quan trọng của hai đường thẳng vuông góc là: “Qua một điểm cho trước, chỉ có duy nhất một đường thẳng vuông góc với một đường thẳng đã cho.” Tính chất này đảm bảo tính xác định và duy nhất trong các bài toán hình học liên quan đến sự vuông góc.
Ví dụ: Cho góc $angle MNP$. Vẽ tia NQ sao cho $NQ perp NP$ và tia NR sao cho $NR perp NM$. Nếu tia NQ và NR nằm về hai phía khác nhau của đường thẳng chứa NP và NM tương ứng, ta có thể xác định được mối quan hệ giữa các góc tạo thành.
Hình minh họa cho ví dụ về tính duy nhất của đường vuông góc.
3. Cách Vẽ Hai Đường Thẳng Vuông Góc
Để vẽ hai đường thẳng vuông góc, chúng ta thường sử dụng êke và thước kẻ. Êke là dụng cụ hình tam giác có sẵn các góc vuông, giúp định vị chính xác đường vuông góc.
Các bước thực hiện:
-
Trường hợp 1: Điểm O cho trước nằm trên đường thẳng a.
Đặt một cạnh của êke (cạnh góc vuông) trùng với đường thẳng a, cạnh góc vuông còn lại đi qua điểm O. Dùng bút vẽ theo cạnh góc vuông thứ hai để xác định đường thẳng a’ đi qua O và vuông góc với a.
Toán lớp 7 | Lý thuyết – Bài tập Toán 7 có đáp án*Vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước đi qua một điểm trên đường thẳng đó.*
-
Trường hợp 2: Điểm O cho trước nằm ngoài đường thẳng a.
Đặt một cạnh của êke trùng với đường thẳng a. Trượt êke cho đến khi cạnh góc vuông thứ hai đi qua điểm O. Dùng bút vẽ theo cạnh góc vuông thứ hai để xác định đường thẳng a’ đi qua O và vuông góc với a.
Toán lớp 7 | Lý thuyết – Bài tập Toán 7 có đáp án*Vẽ đường thẳng vuông góc với đường thẳng cho trước đi qua một điểm ngoài đường thẳng đó.*
Ví dụ: Cho góc tù $xOy$. Trong miền trong của góc, dựng tia $Oz$ sao cho $Oz perp Ox$ và tia $Ot$ sao cho $Ot perp Oy$. Yêu cầu tính tổng số đo của hai góc $angle yOz$ và $angle xOt$.
Hướng dẫn giải:
Do $Oz perp Ox$, ta có $angle xOz = 90^circ$.
Do $Ot perp Oy$, ta có $angle yOt = 90^circ$.
Vì $Oz$ nằm trong góc $xOy$, ta có $angle xOy = angle xOz + angle zOy$.
Vì $Ot$ nằm trong góc $xOy$, ta có $angle xOy = angle xOt + angle tOy$.
Do $Oz$ và $Ot$ nằm trong góc $xOy$, ta có thể biểu diễn mối quan hệ giữa các góc. Khi đó, ta có thể tính được tổng $angle yOz + angle xOt$.
Minh họa bài toán dựng tia vuông góc trong góc tù.
Kết quả tính toán cho thấy $angle yOz + angle xOt = 180^circ$.
Toán lớp 7 | Lý thuyết – Bài tập Toán 7 có đáp án
Toán lớp 7 | Lý thuyết – Bài tập Toán 7 có đáp án
4. Đường Trung Trực Của Đoạn Thẳng
Đường trung trực của một đoạn thẳng là một đường thẳng đặc biệt, nó có hai tính chất:
- Vuông góc với đoạn thẳng đó.
- Đi qua trung điểm của đoạn thẳng đó.
Nói cách khác, đường trung trực của đoạn thẳng AB là đường thẳng $xy$ sao cho $xy perp AB$ và $xy$ đi qua trung điểm của AB.
Ví dụ: Cho đoạn thẳng AB. Đường thẳng $xy$ là đường trung trực của AB nếu $xy$ cắt AB tại trung điểm O của AB và $angle AOx = 90^circ$.
Đường trung trực của đoạn thẳng AB.
Toán lớp 7 | Lý thuyết – Bài tập Toán 7 có đáp án
Chú ý: Kí hiệu $xy cap AB = {O}$ được đọc là “đường thẳng $xy$ cắt đường thẳng AB tại điểm O”.
B. Bài Tập Thực Hành
Bài 1: Chứng Minh Hai Tia Phân Giác Của Hai Góc Kề Bù Vuông Góc Với Nhau
Lời giải:
Giả sử hai góc kề bù là $angle xOy$ và $angle yOz$. Gọi Om là tia phân giác của $angle xOy$ và On là tia phân giác của $angle yOz$.
Vì $angle xOy$ và $angle yOz$ là hai góc kề bù, nên $angle xOy + angle yOz = 180^circ$.
Vì Om là tia phân giác của $angle xOy$, ta có $angle xOm = angle mOy = frac{1}{2} angle xOy$.
Vì On là tia phân giác của $angle yOz$, ta có $angle yOn = angle nOz = frac{1}{2} angle yOz$.
Xét góc $angle mOn$. Ta có $angle mOn = angle mOy + angle yOn$.
Thay thế các giá trị đã biết:
$angle mOn = frac{1}{2} angle xOy + frac{1}{2} angle yOz = frac{1}{2} (angle xOy + angle yOz)$
$angle mOn = frac{1}{2} (180^circ) = 90^circ$.
Do đó, hai tia phân giác Om và On vuông góc với nhau.
Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc – Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết*Minh họa hai góc kề bù và các tia phân giác của chúng.*
Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc – Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết*Chứng minh hai tia phân giác của hai góc kề bù vuông góc với nhau.*
Bài 2: Cho Góc Tù AOB
Cho góc tù $AOB$. Dựng tia $OC perp OA$ và tia $OD perp OB$.
a) So sánh các góc $angle AOD$ và $angle BOC$.
b) Gọi OM là tia phân giác của góc $COD$. Chứng minh tia OM là tia phân giác của góc $AOB$.
Lời giải:
a) Vì $OC perp OA$, nên $angle AOC = 90^circ$. Ta có $angle AOC = angle AOD + angle DOC = 90^circ$.
Vì $OD perp OB$, nên $angle BOD = 90^circ$. Ta có $angle BOD = angle BOC + angle COD = 90^circ$.
Từ $angle AOC = 90^circ$, suy ra $angle DOC = 90^circ – angle AOD$.
Từ $angle BOD = 90^circ$, suy ra $angle BOC = 90^circ – angle COD$.
Thay $angle DOC$ vào biểu thức của $angle BOC$:
$angle BOC = 90^circ – (90^circ – angle AOD) = angle AOD$.
Vậy $angle AOD = angle BOC$.
Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc – Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết*Hình vẽ cho bài toán góc tù AOB.*
Trắc nghiệm Hai đường thẳng vuông góc – Bài tập Toán lớp 7 chọn lọc có đáp án, lời giải chi tiết*Các bước chứng minh trong phần a) của bài toán.*
b) Ta đã chứng minh $angle AOD = angle BOC$.
Mặt khác, vì $OC perp OA$ và $OD perp OB$ trong góc tù $AOB$, nên tia $OC$ và $OD$ nằm giữa hai tia $OA$ và $OB$.
Do đó, $angle AOB = angle AOC + angle COD = 90^circ + angle COD$ (không đúng vì $OC, OD$ có thể không kề nhau).
Ta có $angle AOB = angle AOD + angle DOB = angle AOD + 90^circ$ (không đúng).
Xem xét lại: $angle AOB = angle AOC + angle COB = 90^circ + angle COB$.
Và $angle AOB = angle AOD + angle DOB = angle AOD + 90^circ$.
Do đó, $angle AOB = angle AOD + 90^circ$ và $angle AOB = angle COB + 90^circ$.
Suy ra $angle AOD = angle COB$.
OM là tia phân giác của $angle COD$, nên $angle COM = angle DOM = frac{1}{2} angle COD$.
Ta cần chứng minh OM là tia phân giác của $angle AOB$, tức là $angle AOM = angle BOM$.
$angle AOM = angle AOC + angle COM = 90^circ + frac{1}{2} angle COD$.
$angle BOM = angle BOD + angle DOM = 90^circ + frac{1}{2} angle COD$.
Do đó, $angle AOM = angle BOM$. Vậy OM là tia phân giác của góc $AOB$.
Các bước chứng minh trong phần b) của bài toán.
Hiểu rõ lý thuyết về hai đường thẳng vuông góc là chìa khóa để chinh phục các bài toán hình học trong chương trình lớp 7. Hãy luyện tập thường xuyên với các dạng bài tập khác nhau để nắm vững kiến thức này.
