Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Lớp 8

Tìm giá trị lớn nhất (GTLN) và giá trị nhỏ nhất (GTNN) của một biểu thức là một trong những dạng toán quan trọng và thường gặp trong chương trình Toán lớp 8. Dạng bài này không chỉ giúp học sinh củng cố kiến thức về hằng đẳng thức mà còn rèn luyện tư duy biến đổi đại số một cách linh hoạt. Bài viết này sẽ cung cấp một phương pháp giải chi tiết, dễ hiểu, kèm theo các ví dụ minh họa cụ thể để bạn có thể chinh phục dạng toán này một cách tự tin.

Việc nắm vững cách biến đổi đa thức một biến nghiệm của đa thức một biến là nền tảng quan trọng để thực hiện các phép phân tích và tìm giá trị cực trị của biểu thức.

A. Phương pháp giải và kiến thức cốt lõi

Để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một biểu thức, phương pháp chính được sử dụng là biến đổi biểu thức về dạng có chứa bình phương của một tổng hoặc một hiệu, dựa trên các hằng đẳng thức đáng nhớ.

Kiến thức cơ bản cần nắm:

1. Bình phương của một biểu thức luôn không âm:

   • Với mọi giá trị của x, ta luôn có [A(x)]² ≥ 0.
   • Dấu “=” xảy ra khi A(x) = 0.

2. Áp dụng vào tìm Giá trị nhỏ nhất (GTNN):

   • Nếu ta biến đổi được biểu thức về dạng P(x) = [A(x)]² + k (với k là hằng số), thì ta có:
     • Vì [A(x)]² ≥ 0 nên [A(x)]² + k ≥ k.
     • Vậy giá trị nhỏ nhất của P(x) là k.
     • Dấu “=” xảy ra khi A(x) = 0.

3. Áp dụng vào tìm Giá trị lớn nhất (GTLN):

   • Nếu ta biến đổi được biểu thức về dạng Q(x) = m - [A(x)]² (với m là hằng số), thì ta có:
     • Vì [A(x)]² ≥ 0 nên -[A(x)]² ≤ 0.
     • Do đó, m - [A(x)]² ≤ m.
     • Vậy giá trị lớn nhất của Q(x) là m.
     • Dấu “=” xảy ra khi A(x) = 0.