Cách Tìm Giá Trị Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Của Biểu Thức Lớp 8 Bằng Hằng Đẳng Thức

Việc tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của một biểu thức toán học là một kỹ năng quan trọng trong chương trình Toán học lớp 8, đặc biệt khi áp dụng các hằng đẳng thức đã học. Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết phương pháp giải, kèm theo các ví dụ minh họa và bài tập tự luyện, giúp học sinh nắm vững kiến thức và tự tin chinh phục các dạng bài tập liên quan.

A. Phương Pháp Giải Bài Tập

Để tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta dựa vào các tính chất cơ bản của bình phương và các hằng đẳng thức đáng nhớ:

• Với mọi số thực x, ta có: $x^2 geq 0$. Dấu “=” xảy ra khi $x = 0$.
• Với mọi số thực a, b ta có: $(a + b)^2 geq 0$ và $(a – b)^2 geq 0$.
  • Dấu “=” trong $(a + b)^2 geq 0$ xảy ra khi $a + b = 0$.
  • Dấu “=” trong $(a – b)^2 geq 0$ xảy ra khi $a – b = 0$.

Dựa trên các nguyên tắc này, ta có thể phân tích biểu thức như sau:

• Tìm giá trị nhỏ nhất: Nếu biểu thức có dạng $A(x) = (f(x))^2 + a$, với $a$ là một hằng số, thì giá trị nhỏ nhất của $A(x)$ là $a$, đạt được khi $f(x) = 0$.
• Tìm giá trị lớn nhất: Nếu biểu thức có dạng $A(x) = – (f(x))^2 + a$, với $a$ là một hằng số, thì giá trị lớn nhất của $A(x)$ là $a$, đạt được khi $f(x) = 0$.

Ngoài ra, chúng ta cũng có thể áp dụng các bất đẳng thức cơ bản khác:

• Với mọi A, B ta có: $A^2 + B^2 geq 0$. Dấu “=” xảy ra khi A = 0 và B = 0.

B. Ví Dụ Minh Họa

Ví Dụ 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = 6x – x^2$

Ta biến đổi biểu thức A về dạng bình phương của một hiệu:
$A = 6x – x^2 = -(x^2 – 6x)$
$A = -(x^2 – 6x + 9 – 9)$
$A = -( (x – 3)^2 – 9 )$
$A = -(x – 3)^2 + 9$

Vì $(x – 3)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-(x – 3)^2 leq 0$.
Do đó, $A = -(x – 3)^2 + 9 leq 9$.

Giá trị lớn nhất của biểu thức A là 9, đạt được khi $(x – 3)^2 = 0$, tức là $x = 3$.

Ví Dụ 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = 6 – 8x – x^2$

Ta biến đổi biểu thức B:
$B = 6 – 8x – x^2 = -(x^2 + 8x) + 6$
$B = -(x^2 + 8x + 16 – 16) + 6$
$B = -( (x + 4)^2 – 16 ) + 6$
$B = -(x + 4)^2 + 16 + 6$
$B = -(x + 4)^2 + 22$

Vì $(x + 4)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-(x + 4)^2 leq 0$.
Do đó, $B = -(x + 4)^2 + 22 leq 22$.

Giá trị lớn nhất của biểu thức B là 22, đạt được khi $(x + 4)^2 = 0$, tức là $x = -4$.

Ví Dụ 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $C = 4x^2 + 8x + 10$

Ta biến đổi biểu thức C:
$C = 4x^2 + 8x + 10 = (4x^2 + 8x + 4) + 6$
$C = (2x)^2 + 2 cdot (2x) cdot 2 + 2^2 + 6$
$C = (2x + 2)^2 + 6$

Vì $(2x + 2)^2 geq 0$ với mọi x, nên $C = (2x + 2)^2 + 6 geq 6$.

Giá trị nhỏ nhất của biểu thức C là 6, đạt được khi $(2x + 2)^2 = 0$, tức là $2x + 2 = 0 Rightarrow x = -1$.

Ví Dụ 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = frac{1}{2x^2 + 4x + 9}$

Để tìm giá trị lớn nhất của phân thức, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của mẫu số. Mẫu số là $2x^2 + 4x + 9$.
Ta biến đổi mẫu số:
$2x^2 + 4x + 9 = (2x^2 + 4x + 2) + 7$
$= 2(x^2 + 2x + 1) + 7$
$= 2(x + 1)^2 + 7$

Vì $(x + 1)^2 geq 0$ với mọi x, nên $2(x + 1)^2 geq 0$.
Do đó, $2(x + 1)^2 + 7 geq 7$.

Giá trị nhỏ nhất của mẫu số là 7, đạt được khi $(x + 1)^2 = 0$, tức là $x = -1$.

Khi đó, giá trị lớn nhất của biểu thức A là $frac{1}{7}$.

C. Bài Tập Trắc Nghiệm

Câu 1: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = -x^2 + 4x + 3$

Ta có:
$A = -x^2 + 4x + 3 = -(x^2 – 4x) + 3$
$A = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 3$
$A = -( (x – 2)^2 – 4 ) + 3$
$A = -(x – 2)^2 + 4 + 3$
$A = -(x – 2)^2 + 7$

Vì $(x – 2)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-(x – 2)^2 leq 0$.
Do đó, $A leq 7$. Giá trị lớn nhất của A là 7.

Câu 2: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $B = 10 – x^2$

Vì $x^2 geq 0$ với mọi x, nên $-x^2 leq 0$.
Do đó, $B = 10 – x^2 leq 10$. Giá trị lớn nhất của B là 10.

Câu 3: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $A = 4x – 2x^2$

Ta có:
$A = 4x – 2x^2 = -2x^2 + 4x$
$A = -2(x^2 – 2x)$
$A = -2(x^2 – 2x + 1 – 1)$
$A = -2( (x – 1)^2 – 1 )$
$A = -2(x – 1)^2 + 2$

Vì $(x – 1)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-2(x – 1)^2 leq 0$.
Do đó, $A leq 2$. Giá trị lớn nhất của A là 2.

Câu 4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $C = 4x + 3 – x^2$

Ta có:
$C = 4x + 3 – x^2 = -x^2 + 4x + 3$
$C = -(x^2 – 4x) + 3$
$C = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 3$
$C = -( (x – 2)^2 – 4 ) + 3$
$C = -(x – 2)^2 + 4 + 3$
$C = -(x – 2)^2 + 7$

Vì $(x – 2)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-(x – 2)^2 leq 0$.
Do đó, $C leq 7$. Giá trị lớn nhất của C là 7.

Giá trị lớn nhất của C là 7

Câu 5: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $D = -x^2 + 6x – 11$

Ta có:
$D = -x^2 + 6x – 11 = -(x^2 – 6x) – 11$
$D = -(x^2 – 6x + 9 – 9) – 11$
$D = -( (x – 3)^2 – 9 ) – 11$
$D = -(x – 3)^2 + 9 – 11$
$D = -(x – 3)^2 – 2$

Vì $(x – 3)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-(x – 3)^2 leq 0$.
Do đó, $D leq -2$. Giá trị lớn nhất của biểu thức D là -2.

Câu 6: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức $E = 4x – x^2 + 1$

Ta có:
$E = 4x – x^2 + 1 = -x^2 + 4x + 1$
$E = -(x^2 – 4x) + 1$
$E = -(x^2 – 4x + 4 – 4) + 1$
$E = -( (x – 2)^2 – 4 ) + 1$
$E = -(x – 2)^2 + 4 + 1$
$E = -(x – 2)^2 + 5$

Vì $(x – 2)^2 geq 0$ với mọi x, nên $-(x – 2)^2 leq 0$.
Do đó, $E leq 5$. Giá trị lớn nhất của biểu thức E là 5.

Câu 7: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $A = 2x^2 + 8x + 11$

Ta có:
$A = 2x^2 + 8x + 11 = 2(x^2 + 4x) + 11$
$A = 2(x^2 + 4x + 4 – 4) + 11$
$A = 2( (x + 2)^2 – 4 ) + 11$
$A = 2(x + 2)^2 – 8 + 11$
$A = 2(x + 2)^2 + 3$

Vì $(x + 2)^2 geq 0$ với mọi x, nên $2(x + 2)^2 geq 0$.
Do đó, $A geq 3$. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức A là 3.

Câu 8: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $E = x^2 – 2x + y^2 + 4y + 10$

Ta nhóm các biến lại và hoàn thành bình phương:
$E = (x^2 – 2x) + (y^2 + 4y) + 10$
$E = (x^2 – 2x + 1) – 1 + (y^2 + 4y + 4) – 4 + 10$
$E = (x – 1)^2 + (y + 2)^2 + 5$

Vì $(x – 1)^2 geq 0$ và $(y + 2)^2 geq 0$ với mọi x, y.
Do đó, $E geq 5$. Giá trị nhỏ nhất của E là 5.

Câu 9: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $D = 4x^2 + y^2 + 6y + 20$

Ta nhóm các biến lại và hoàn thành bình phương:
$D = 4x^2 + (y^2 + 6y) + 20$
$D = 4x^2 + (y^2 + 6y + 9) – 9 + 20$
$D = 4x^2 + (y + 3)^2 + 11$

Vì $4x^2 geq 0$ và $(y + 3)^2 geq 0$ với mọi x, y.
Do đó, $D geq 11$. Giá trị nhỏ nhất của D là 11.

Câu 10: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $G = x^2 + 5y^2 – 4xy – 8y + 28$

Ta sắp xếp lại và nhóm các hạng tử để xuất hiện hằng đẳng thức:
$G = (x^2 – 4xy + 4y^2) + (y^2 – 8y + 16) + 8$
$G = (x – 2y)^2 + (y – 4)^2 + 8$

Vì $(x – 2y)^2 geq 0$ và $(y – 4)^2 geq 0$ với mọi x, y.
Do đó, $G geq 8$. Giá trị nhỏ nhất của G là 8.

D. Bài Tập Tự Luyện

Để củng cố kiến thức, học sinh có thể luyện tập thêm với các bài tập sau:

1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = –2x^2 – 5x + 3$.
2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 3x^2 + 7x + 15$.
3. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 5x^2 + x + 2$.
4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P = 3x^2 + 2y^2 + 8y + 23$.
5. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: $P = –x^2 + 5x + 5$.

Việc nắm vững phương pháp sử dụng hằng đẳng thức để tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của biểu thức sẽ giúp các em học sinh giải quyết hiệu quả các bài toán liên quan trong chương trình Toán lớp 8 và các cấp học cao hơn.