Bài viết này sẽ hướng dẫn chi tiết cách tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng trong không gian, cụ thể là tính khoảng cách từ đỉnh A đến mặt phẳng (BDA’) của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1. Đây là một dạng bài tập quen thuộc trong chương trình Toán học phổ thông, đặc biệt là trong phần hình học không gian.
TÓM TẮT
I. Phân tích bài toán và phương pháp giải
1. Phân tích đề bài
Chúng ta được cho một hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ với cạnh có độ dài bằng 1. Yêu cầu là tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng tạo bởi ba điểm B, D, và A’. Mặt phẳng này được ký hiệu là (BDA’).
2. Xác định mục tiêu
Mục tiêu chính của bài toán này là tìm ra độ dài đoạn thẳng vuông góc kẻ từ điểm A tới mặt phẳng (BDA’).
3. Các phương pháp tiếp cận
Có hai phương pháp chính để giải quyết bài toán này:
- Phương pháp sử dụng tọa độ: Đặt hệ trục tọa độ phù hợp và tìm tọa độ của các điểm A, B, D, A’. Từ đó, thiết lập phương trình mặt phẳng (BDA’) và áp dụng công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng.
- Phương pháp sử dụng thể tích: Tính thể tích của khối tứ diện ABDA’ theo hai cách khác nhau. Một cách là sử dụng công thức thể tích thông thường, cách còn lại là xem BD là đáy và AA’ là chiều cao (hoặc tương tự), sau đó suy ra khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA’).
Trong khuôn khổ bài viết này, chúng ta sẽ đi sâu vào phương pháp sử dụng thể tích, một phương pháp thường mang lại lời giải ngắn gọn và hiệu quả cho dạng bài này.
II. Giải bài toán bằng phương pháp thể tích
1. Tính thể tích khối tứ diện ABDA’
Khối tứ diện ABDA’ có thể tích được tính bằng công thức:
$V = frac{1}{3} times text{Diện tích đáy} times text{Chiều cao}$
Trong trường hợp này, ta có thể chọn tam giác ABD làm đáy. Tam giác ABD là tam giác vuông tại A (do ABCD là hình vuông). Cạnh AB = AD = 1.
Diện tích tam giác ABD là:
$S_{ABD} = frac{1}{2} times AB times AD = frac{1}{2} times 1 times 1 = frac{1}{2}$
Chiều cao của khối tứ diện ABDA’ kẻ từ đỉnh A’ xuống mặt phẳng đáy (ABD) chính là chiều cao của hình lập phương, tức là AA’ = 1.
Vậy, thể tích khối tứ diện ABDA’ là:
$V{ABDA’} = frac{1}{3} times S{ABD} times AA’ = frac{1}{3} times frac{1}{2} times 1 = frac{1}{6}$
2. Tính khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA’)
Bây giờ, chúng ta sẽ tính thể tích khối tứ diện ABDA’ lần thứ hai, bằng cách chọn mặt phẳng (BDA’) làm đáy và coi A là đỉnh. Khi đó, khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA’) sẽ là chiều cao của khối tứ diện này. Gọi $h$ là khoảng cách từ A đến mặt phẳng (BDA’).
Thể tích khối tứ diện ABDA’ lúc này là:
$V_{ABDA’} = frac{1}{3} times text{Diện tích tam giác BDA’} times h$
Để tính diện tích tam giác BDA’, ta cần xác định độ dài các cạnh của tam giác này:
- BD là đường chéo của hình vuông ABCD, nên $BD = sqrt{AB^2 + AD^2} = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$.
- BA’ là đường chéo của hình vuông ABB’A’, nên $BA’ = sqrt{AB^2 + AA’^2} = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$.
- DA’ là đường chéo của hình vuông ADD’A’, nên $DA’ = sqrt{AD^2 + AA’^2} = sqrt{1^2 + 1^2} = sqrt{2}$.
Tam giác BDA’ là tam giác đều có cạnh bằng $sqrt{2}$.
Diện tích tam giác BDA’ là:
$S_{BDA’} = frac{(sqrt{2})^2 sqrt{3}}{4} = frac{2sqrt{3}}{4} = frac{sqrt{3}}{2}$
Bây giờ, ta cho hai biểu thức thể tích bằng nhau:
$frac{1}{3} times S{BDA’} times h = V{ABDA’}$
$frac{1}{3} times frac{sqrt{3}}{2} times h = frac{1}{6}$
$frac{sqrt{3}}{6} times h = frac{1}{6}$
$h = frac{1}{6} times frac{6}{sqrt{3}} = frac{1}{sqrt{3}} = frac{sqrt{3}}{3}$
Vậy, khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BDA’) là $frac{sqrt{3}}{3}$.
III. Kết luận
Khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BDA’) của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng 1 là $frac{sqrt{3}}{3}$.
Trong các lựa chọn đưa ra:
A. d=$frac{sqrt{2}}{2}$
B. d=$frac{sqrt{3}}{3}$
C. d=$frac{sqrt{3}}{6}$
D. d=$frac{sqrt{6}}{4}$
Đáp án đúng là B. d=$frac{sqrt{3}}{3}$.
Hy vọng bài viết này đã cung cấp cho bạn cái nhìn rõ ràng và phương pháp hiệu quả để giải quyết dạng toán tính khoảng cách từ điểm đến mặt phẳng trong hình học không gian.
