Trong chương trình Toán học phổ thông, việc khảo sát và vẽ đồ thị hàm số là một trong những kiến thức trọng tâm. Nền tảng của quá trình này chính là hiểu rõ về Sự Biến Thiên Của Hàm Số, tức là xác định được khi nào hàm số tăng và khi nào hàm số giảm. Cũng giống như việc cần nắm vững các khái niệm cốt lõi để trả lời câu hỏi CaC2 có phải là hợp chất hữu cơ không, việc nắm chắc khái niệm về tính đơn điệu sẽ giúp bạn giải quyết nhiều bài toán phức tạp hơn.
Bài viết này sẽ đồng hành cùng bạn để hệ thống lại toàn bộ lý thuyết về sự biến thiên của hàm số, từ định nghĩa cơ bản đến các ví dụ minh họa trực quan nhất.
1. Lý thuyết cốt lõi về sự biến thiên của hàm số
Cho hàm số (y = f(x)) xác định trên một khoảng (a;b).
Định nghĩa hàm số đồng biến và nghịch biến
- Hàm số (y = f(x)) được gọi là đồng biến (hay hàm số tăng) trên khoảng (a;b) nếu:
(forall {x_1},{x_2} in (a;b),{x_1} < {x_2} Rightarrow f({x_1}) < f({x_2})) - Hàm số (y = f(x)) được gọi là nghịch biến (hay hàm số giảm) trên khoảng (a;b) nếu:
(forall {x_1},{x_2} in (a;b),{x_1} < {x_2} Rightarrow f({x_1}) > f({x_2}))
Việc xét sự biến thiên của một hàm số chính là quá trình tìm ra các khoảng mà trên đó hàm số đồng biến và các khoảng hàm số nghịch biến.
Biểu diễn sự biến thiên qua bảng biến thiên
Bảng biến thiên là một công cụ hữu ích để tổng kết kết quả sau khi xét sự biến thiên của hàm số. Trong đó, quy ước sử dụng mũi tên để mô tả tính chất của hàm số:
- Mũi tên đi lên (↗): Diễn tả hàm số đồng biến trên khoảng tương ứng.
- Mũi tên đi xuống (↘): Diễn tả hàm số nghịch biến trên khoảng tương ứng.
Mô tả sự biến thiên bằng đồ thị
Đồ thị là cách biểu diễn trực quan nhất về hành vi của hàm số. Khi quan sát đồ thị từ trái sang phải:
- Nếu đồ thị có dạng “đi lên” trên khoảng (a;b), hàm số đồng biến trên khoảng đó.
- Nếu đồ thị có dạng “đi xuống” trên khoảng (a;b), hàm số nghịch biến trên khoảng đó.
Nắm vững các quy tắc này cũng quan trọng như việc ghi nhớ nguyên tố phổ biến nhất trong vỏ trái đất là gì trong lĩnh vực Hóa học.
Trường hợp đặc biệt: Hàm số bậc nhất
Đối với hàm số bậc nhất có dạng (y = ax + b):
- Hàm số luôn đồng biến trên (mathbb{R}) nếu hệ số (a > 0).
- Hàm số luôn nghịch biến trên (mathbb{R}) nếu hệ số (a < 0).
2. Các ví dụ minh họa trực quan
Để hiểu sâu hơn về lý thuyết, chúng ta hãy cùng xem xét một vài ví dụ cụ thể. Các dạng bài tập này cũng quen thuộc như việc cân bằng một hỗn hợp chất rắn x gồm 6 2g na2o trong các bài toán hóa học.
Ví dụ 1: Chứng minh hàm số đồng biến trên một khoảng
Yêu cầu: Chứng minh hàm số (y = 2{x^2}) đồng biến trên khoảng ((0; + infty )).
Lời giải:
Xét hai số bất kì ({x_1},{x_2} in (0; + infty )) sao cho ({x_1} < {x_2}).
Ta có: (0 < {x_1} < {x_2}). Vì (x_1, x_2) đều dương nên (x_1^2 < x_2^2).
Suy ra (2{x_1}^2 < 2{x_2}^2), hay (f({x_1}) < f({x_2})).
Vậy theo định nghĩa, hàm số đã cho đồng biến trên khoảng ((0; + infty )). Việc hiểu rõ các bước chứng minh cũng giúp bạn giải quyết các câu hỏi lý thuyết phức tạp hơn, ví dụ như có mấy hợp chất có công thức c3h9o2n.
Ví dụ 2: Đọc hiểu bảng biến thiên
Yêu cầu: Dựa vào bảng biến thiên của hàm số (y = 2{x^2} + 1) dưới đây, hãy chỉ ra các khoảng đồng biến, nghịch biến.
