Đa thức một biến: Toàn bộ lý thuyết và bài tập chi tiết A-Z

Chào các bạn học sinh! Chuyên đề về đa thức một biến là một trong những kiến thức nền tảng quan trọng nhất của chương trình Toán lớp 7. Việc nắm vững khái niệm, cách tính toán và tìm nghiệm của đa thức sẽ là chìa khóa giúp bạn chinh phục các dạng bài tập phức tạp hơn sau này.

Trong bài viết này, Hóa Học Phổ Thông sẽ cùng bạn đi qua tất cả các khái niệm từ cơ bản đến nâng cao, kèm theo ví dụ minh họa và bài tập vận dụng. Hãy cùng bắt đầu hành trình khám phá thế giới của đa thức một biến nhé!

1. Đa thức một biến là gì? Các khái niệm cơ bản

Trước khi đi sâu vào định nghĩa đa thức, chúng ta cần làm quen với “đơn thức một biến”. Hiểu đơn giản, đơn thức là viên gạch xây nên đa thức.

Đơn thức một biến

Định nghĩa: Đơn thức một biến là biểu thức đại số chỉ gồm một số, hoặc một biến, hoặc một tích giữa các số và các biến đó.

• Ví dụ: 5, x, 3x², -√2y³ là các đơn thức một biến (biến x hoặc biến y).
• Biểu thức 2/x không phải là đơn thức vì có phép chia cho biến.

Mỗi đơn thức một biến (khác 0) có hai phần:

• Hệ số: Phần số.
• Phần biến: Tích của các lũy thừa của biến. Kiến thức về lũy thừa rất quan trọng, bạn có thể ôn lại qua bài toán [x nhân x bằng bao nhiêu](https://hoahocphothong.com/x-nhan-x-bang-bao-nhieu.html) để hiểu rõ hơn.
• Bậc của đơn thức: Số mũ của biến trong đơn thức đó.

Ví dụ: Với đơn thức -7x⁴:

• Hệ số là -7.
• Phần biến là x⁴.
• Bậc của đơn thức là 4.

Đa thức một biến

Định nghĩa: Đa thức một biến là tổng của những đơn thức của cùng một biến.

• Ví dụ: P(x) = 7x⁴ - 3x³ + 5x - 2 là một đa thức của biến x.
• Mỗi đơn thức trong tổng được gọi là một hạng tử của đa thức đó.

Để tiện cho việc tính toán, người ta thường thu gọn đa thức bằng cách cộng hoặc trừ các đơn thức có cùng số mũ (đơn thức đồng dạng).

Ví dụ thu gọn đa thức:
Cho đa thức A(x) = 5x³ + 2x - 4x² + x³ - 3x + 1.
Ta nhóm các đơn thức đồng dạng:
A(x) = (5x³ + x³) - 4x² + (2x - 3x) + 1
A(x) = 6x³ - 4x² - x + 1

Đây là dạng thu gọn của đa thức A(x).

2. Sắp xếp và xác định bậc của đa thức một biến

Sau khi thu gọn, việc sắp xếp các hạng tử của đa thức sẽ giúp bài toán trở nên gọn gàng và dễ xử lý hơn rất nhiều.

Sắp xếp đa thức

Thông thường, chúng ta có hai cách sắp xếp:

1. Sắp xếp theo lũy thừa giảm dần của biến: A(x) = 6x³ - 4x² - x + 1
2. Sắp xếp theo lũy thừa tăng dần của biến: B(x) = 1 - x - 4x² + 6x³

Trong hầu hết các trường hợp, cách sắp xếp theo lũy thừa giảm dần được ưu tiên sử dụng.

Bậc của đa thức một biến

Định nghĩa: Bậc của đa thức một biến (khác đa thức không, đã thu gọn) là số mũ lớn nhất của biến trong đa thức đó.

Ví dụ:
Đa thức P(x) = 8x⁵ - 3x² + 7 có bậc là 5 (vì số mũ lớn nhất của x là 5).

Các hệ số quan trọng:

• Hệ số cao nhất: Là hệ số của hạng tử có bậc cao nhất. Trong ví dụ P(x) trên, hệ số cao nhất là 8.
• Hệ số tự do: Là hạng tử không chứa biến (hạng tử có bậc 0). Trong ví dụ P(x) trên, hệ số tự do là 7.
• Đa thức không: Là đa thức có tất cả các hệ số bằng 0, ký hiệu là 0. Đa thức không không có bậc.

Những khái niệm về hệ số và biến số này không chỉ quan trọng trong toán học mà còn là nền tảng cho các môn khoa học tự nhiên khác. Ví dụ, để xác định [số oxi hóa của crom trong hợp chất cro3 là](https://hoahocphothong.com/so-oxi-hoa-cua-crom-trong-hop-chat-cro3-la.html) bao nhiêu, các nhà hóa học cũng phải giải các phương trình dựa trên các biến số tương tự.

3. Nghiệm của đa thức một biến

Đây là một trong những khái niệm cốt lõi và có nhiều ứng dụng nhất.

Định nghĩa: Nếu tại x = a, đa thức P(x) có giá trị bằng 0, tức là P(a) = 0, thì ta nói a (hoặc x = a) là một nghiệm của đa thức P(x).

Làm thế nào để kiểm tra một số có phải là nghiệm?

Rất đơn giản! Bạn chỉ cần thay giá trị của số đó vào biến của đa thức và tính toán.

• Nếu kết quả bằng 0, đó là một nghiệm.
• Nếu kết quả khác 0, đó không phải là nghiệm.

Ví dụ 1:
Kiểm tra xem x = 2 có phải là nghiệm của đa thức Q(x) = x² - 5x + 6 không?
Ta thay x = 2 vào Q(x):
Q(2) = 2² - 5(2) + 6 = 4 - 10 + 6 = 0
Vì Q(2) = 0, nên x = 2 là một nghiệm của đa thức Q(x).

Ví dụ 2:
Kiểm tra xem x = -1 có phải là nghiệm của đa thức R(x) = 3x + 1 không?
Ta thay x = -1 vào R(x):
R(-1) = 3(-1) + 1 = -3 + 1 = -2
Vì R(-1) ≠ 0, nên x = -1 không phải là nghiệm của đa thức R(x).

Việc tìm nghiệm của đa thức chính là đi tìm giá trị của biến để làm cho cả biểu thức bằng 0, một kỹ năng quan trọng giúp giải quyết nhiều bài toán phức tạp. Kỹ năng này còn được ứng dụng rộng rãi, ví dụ như khi phân tích một bài toán hóa học phức tạp, bạn có thể được [cho hợp chất hữu cơ x có công thức c3h12o3n2](https://hoahocphothong.com/cho-hop-chat-huu-co-x-co-cong-thuc-c3h12o3n2.html) và cần thiết lập các phương trình để tìm ra cấu trúc của nó.

Lưu ý:

• Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm,… hoặc không có nghiệm nào.
• Số nghiệm của một đa thức không vượt quá bậc của nó.

Kết luận

Qua bài viết này, chúng ta đã cùng nhau hệ thống lại toàn bộ kiến thức trọng tâm về đa thức một biến, từ các khái niệm cơ bản như đơn thức, bậc của đa thức cho đến phần quan trọng là nghiệm của đa thức. Đây là những viên gạch vững chắc cho nền tảng toán học của bạn ở những năm cấp 2 và cấp 3.

Hãy chắc chắn rằng bạn đã hiểu rõ các định nghĩa và thực hành thường xuyên với các bài tập vận dụng. Nếu có bất kỳ thắc mắc nào, đừng ngần ngại để lại bình luận bên dưới, Hóa Học Phổ Thông sẽ giải đáp giúp bạn