Trong chương trình Toán lớp 9, Chương 1 Hình học về “Hệ thức lượng trong tam giác vuông” đóng vai trò là nền tảng cực kỳ quan trọng. Kiến thức về tỉ số lượng giác của góc nhọn và các hệ thức giữa cạnh và đường cao không chỉ xuất hiện dày đặc trong các bài kiểm tra định kỳ mà còn là nội dung trọng tâm trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10, tương tự như phần ôn tập Chương 1 Đại số 9. Để giúp các em học sinh nắm vững phương pháp giải và rèn luyện kỹ năng làm bài, blog Hóa Học Phổ Thông xin giới thiệu bộ đề thi thử chất lượng nhất.
Việc luyện tập với đề kiểm tra 1 tiết toán 9 chương 1 hình học giúp các em làm quen với cấu trúc đề thi bao gồm cả trắc nghiệm và tự luận. Qua đó, người học có thể tự đánh giá năng lực, nhận diện các dạng bài tập hay gặp như tính độ dài đoạn thẳng, số đo góc hoặc chứng minh các đẳng thức lượng giác phức tạp. Dưới đây là nội dung chi tiết của 3 bộ đề tiêu biểu kèm lời giải để các em đối chiếu.
TÓM TẮT
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 9 Chương 1 Hình học – Đề số 1
Đề số 1 tập trung vào việc nhận biết các hệ thức cơ bản trong tam giác vuông và ứng dụng thực tế của tỉ số lượng giác. Đây là mức độ cơ bản giúp học sinh củng cố lại lý thuyết trước khi bước vào các dạng bài nâng cao hơn.
Phần trắc nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Dựa vào hình vẽ bên dưới, hãy xác định hệ thức nào sau đây là đúng nhất khi xét mối quan hệ giữa cạnh góc vuông và hình chiếu của nó trên cạnh huyền.
Sơ đồ minh họa tam giác vuông ABC với đường cao AH để xác định hệ thức lượng
A. $BA^2 = BC.CH$ B. $BA^2 = BC.BH$ C. $BA^2 = BC^2 + AC^2$ D. Cả 3 ý A, B, C đều sai
Câu 2: Dựa vào các dữ kiện hình học ở câu 1, hãy cho biết độ dài của đoạn thẳng đường cao AH được tính theo công thức nào liên quan đến các hình chiếu.
A. $AB.AC$ B. $BC.HB$ C. $sqrt{HB.HC}$ D. $BC.HC$
Câu 3: Quan sát hình vẽ và xác định hệ thức đúng trong các phương án được liệt kê dưới đây về tỉ số giữa các cạnh và đường cao.
Các công thức về tỉ số lượng giác và hệ thức lượng trong tam giác vuông
Câu 4: Cho tam giác ABC vuông tại A có góc B bằng 60 độ, cạnh AB dài 6 cm. Khi thực hiện kẻ đường cao AH từ đỉnh A xuống cạnh huyền, độ dài đường cao AH đo được là bao nhiêu?
A. 3 cm B. $3sqrt{3}$ cm C. $6sqrt{3}$ cm D. Một kết quả khác
Câu 5: Trong các đẳng thức lượng giác liên quan đến góc phụ nhau và các hằng số lượng giác cơ bản, đẳng thức nào sau đây được xác định là không đúng?
A. $sin 37^circ = cos 53^circ$ B. $tan 30^circ cdot cot 30^circ = 1$ D. $sin alpha + cos alpha = 1$
Câu 6: Hãy tính toán và xác định giá trị của biểu thức hiệu số giữa $sin 59^circ$ và $cos 31^circ$.
A. 0 B. $cos 28^circ$ C. $sin 28^circ$ D. 0,5
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, biết độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là $AB = 6cm$ và $AC = 8cm$. a) Thực hiện tính độ dài cạnh huyền BC và số đo các góc nhọn B, C. b) Vẽ đường phân giác AD của góc A (D thuộc BC). Hãy tính độ dài các đoạn thẳng BD và CD. c) Từ điểm D, hạ các đường vuông góc DE và DF lần lượt xuống AB và AC. Xác định loại hình học của tứ giác AEDF và tính chu vi, diện tích của nó.
Bài 2 (3 điểm):
- Cho góc nhọn $alpha$ thỏa mãn $sin alpha = 1/2$. Hãy tính các giá trị lượng giác còn lại bao gồm $cos alpha, tan alpha, cot alpha$.
- Chứng minh biểu thức lượng giác sau đây dựa trên các công thức đã học:
Bài 3 (1 điểm): Cho tam giác ABC bất kỳ có góc A bằng 60 độ. Hãy chứng minh đẳng thức: $BC^2 = AB^2 + AC^2 – AB cdot AC$.
Hướng dẫn giải chi tiết Đề 1
Đối với phần trắc nghiệm, đáp án lần lượt là: 1-B, 2-C, 3-D, 4-B, 5-D, 6-A. Các em cần chú ý công thức $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$ chứ không phải tổng bậc nhất, đồng thời có thể tra cứu bảng công thức lượng giác để làm chủ các dạng bài biến đổi biểu thức tương tự.
Lời giải Bài 1 tự luận: Áp dụng định lý Pythagoras, ta có $BC = sqrt{6^2 + 8^2} = 10$ cm. Sử dụng tỉ số lượng giác $tan B = AC/AB = 8/6 approx 1,33$, suy ra góc $B approx 53,1^circ$ và góc $C approx 36,9^circ$.
Sơ đồ giải chi tiết tam giác vuông ABC với các đường phụ vẽ thêm
Để tính BD và CD, ta sử dụng tính chất đường phân giác: $DB/DC = AB/AC = 3/4$. Kết hợp với $DB + DC = 10$, ta tính được các giá trị cụ thể như sau:
Tứ giác AEDF có ba góc vuông nên là hình chữ nhật. Do AD là phân giác nên AEDF là hình vuông. Dưới đây là công thức tính toán cho đoạn thẳng BD và CD:
Kết quả tính toán cuối cùng cho BD và CD được trình bày rõ ràng để học sinh dễ dàng theo dõi và đối chiếu với bài làm của mình:
Khi tính diện tích và chu vi hình vuông AEDF, ta cần xác định độ dài cạnh của nó thông qua tam giác vuông đồng dạng hoặc tỉ số lượng giác của góc 45 độ:
Chu vi hình vuông được tính bằng cách nhân bốn lần độ dài cạnh vừa tìm được, đảm bảo tính chính xác đến từng đơn vị đo:
Cuối cùng là phần tính diện tích, bình phương độ dài cạnh để có kết quả diện tích bề mặt của tứ giác:
Đối với bài tập về góc nhọn $alpha$, việc sử dụng các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản là chìa khóa để tìm ra lời giải nhanh chóng:
Các bước tính giá trị cos, tan, cot khi biết sin alpha
Bài 3 yêu cầu chứng minh một hệ thức mở rộng từ định lý Pythagoras cho tam giác có góc 60 độ. Phương pháp phổ biến nhất là hạ đường cao và sử dụng tỉ số lượng giác của góc đặc biệt.
Hình vẽ minh họa và các bước hạ đường cao BH để chứng minh hệ thức
Các bước biến đổi đại số sau khi áp dụng Pythagoras cho các tam giác vuông nhỏ được hình thành sau khi hạ đường cao BH:
Các bước biến đổi đại số cuối cùng để hoàn thành chứng minh
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 9 Chương 1 Hình học – Đề số 2
Đề số 2 nâng cao tính ứng dụng và yêu cầu học sinh phải linh hoạt trong việc biến đổi các biểu thức lượng giác phức tạp hơn.
Phần trắc nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết hình chiếu $BH = 9cm$ và cạnh huyền $BC = 25cm$. Tính độ dài cạnh góc vuông AB. A. 20cm | B. 15cm | C. 34cm | D. 25/9
Câu 2: Giá trị của biểu thức hiệu giữa $sin 36^circ$ và $cos 54^circ$ là bao nhiêu? A. 0 | B. $2 sin 36$ | C. $2 cos 54^circ$ | D. 1
Câu 3: Xét tam giác DEF vuông tại D, có cạnh $DE = 25$ và góc $E = 42^circ$. Độ dài cạnh huyền EF xấp xỉ giá trị nào? A. 18,58 | B. 22,51 | C. 16,72 | D. Một kết quả khác
Câu 4: Tam giác ABC vuông tại B, có các cạnh $AB = 5, BC = 12$. Hãy tính số đo của góc C. A. $22^circ 37’$ | B. $20^circ 48’$ | C. $24^circ 50’$ | D. $23^circ 10’$
Câu 5: Tam giác OPQ vuông tại P, đường cao PH. Cho biết $OP = 8$ và $PQ = 15$. Độ dài PH là: A. 7,58 | B. 5,78 | C. 7,06 | D. 6,07
Câu 6: Nếu hai góc $alpha$ và $beta$ phụ nhau ($alpha + beta = 90^circ$), khẳng định nào sau đây là chính xác nhất?
Các tính chất về góc phụ nhau trong lượng giác lớp 9
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1 (3 điểm): Thực hiện rút gọn và đơn giản hóa các biểu thức lượng giác sau: a) $1 – sin^2 alpha$ b) $sin alpha – sin alpha cdot cos^2 alpha$ c) $sin^4 alpha + cos^4 alpha + 2sin^2 alpha cos^2 alpha$ d) Tổng và hiệu các bình phương $sin, cos$ của các góc từ $20^circ$ đến $70^circ$.
Bài 2 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A với $AB = 3cm, BC = 5cm$. Kẻ đường cao AH và gọi P, Q lần lượt là hình chiếu của H lên AB, AC. a) Tính độ dài các đoạn BH, CH, AH. b) Tìm số đo các góc B, C và tính độ dài đoạn PQ. c) Chứng minh và tính giá trị của biểu thức $AP cdot BP + AQ cdot AC$.
Bài 3 (1 điểm): Chứng minh hệ thức lượng trong tam giác nhọn ABC với các cạnh a, b, c tương ứng:
Hướng dẫn giải chi tiết Đề 2
Đáp án trắc nghiệm đề 2: 1-B, 2-A, 3-D, 4-A, 5-C, 6-D. Học sinh cần lưu ý cách sử dụng máy tính bỏ túi để tính các giá trị lượng giác không đặc biệt.
Đối với bài tập hình học tổng hợp, việc vẽ hình chính xác là bước đầu tiên để không bị nhầm lẫn giữa các hệ thức.
Hình vẽ tam giác ABC với các hình chiếu P và Q của đường cao H
Sử dụng định lý Pythagoras và các hệ thức lượng cơ bản, ta dễ dàng tìm được các cạnh còn lại của tam giác ABC và các đoạn chia trên cạnh huyền:
Đường cao AH đóng vai trò trung tâm trong việc liên kết các đại lượng trong tam giác vuông. Việc tính AH có thể thông qua diện tích hoặc hệ thức nghịch đảo bình phương:
Hệ thức tính đường cao AH và các hình chiếu liên quan
Về số đo góc, các em sử dụng hàm nghịch đảo $arcsin$ hoặc $arccos$ trên máy tính để tìm ra kết quả chính xác nhất theo độ và phút:
Trong bài 3, việc hạ đường cao từ một đỉnh bất kỳ giúp chúng ta thiết lập được các tam giác vuông để áp dụng định lý Pythagoras, từ đó chứng minh được yêu cầu của đề bài:
Chứng minh hệ thức cạnh trong tam giác nhọn bằng cách hạ đường cao
Kết quả cuối cùng của bài chứng minh được rút ra sau khi cộng các biểu thức đã biến đổi:
Kết luận cuối cùng của bài toán chứng minh hình học
Đề kiểm tra 1 tiết Toán 9 Chương 1 Hình học – Đề số 3
Đề thi này chú trọng vào các bài toán thực tế và kỹ năng biến đổi diện tích, tứ giác nội tiếp (mức độ đơn giản qua hình chữ nhật).
Phần trắc nghiệm (3 điểm)
Câu 1: Trong các hệ thức lượng giác của tam giác vuông ABC, hệ thức nào sau đây là sai? A. $sin B = cos C$ | B. $sin^2 B + cos^2 B = 1$ C. $cos B = sin (90^circ – B)$ | D. $sin C = cos (90^circ – B)$
Câu 2: Quan sát hình vẽ và tính giá trị x (độ dài cạnh góc vuông) khi biết các yếu tố liên quan:
Hình vẽ tam giác vuông với các ký hiệu x, y cần tìm
Câu 3: Dựa trên dữ liệu từ câu 2, hãy tính giá trị y (độ dài cạnh huyền hoặc đường cao tùy bối cảnh hình vẽ). A. 8,07 | B. 7,98 | C. 6,22 | D. 5,81
Câu 4: Cho $cos alpha = 0,8$. Dựa vào các hằng đẳng thức, giá trị nào sau đây là chính xác? A. $tan alpha = 0,8$ | B. $tan alpha – sin alpha = 0,15$ | C. $cot alpha = 0,75$ | D. $sin alpha = 0,75$
Câu 5: Cho tam giác ABC vuông tại A, $AB = 20 cm, BC = 29 cm$. Tính giá trị của $tan B$.
Câu 6: Cho tam giác vuông có đường cao ứng với cạnh huyền chia cạnh huyền thành hai đoạn $4cm$ và $9cm$. Độ dài đường cao đó là: A. 6cm | B. 13cm | C. $sqrt{6}cm$ | D. $2sqrt{13}cm$
Phần tự luận (7 điểm)
Bài 1 (3 điểm): Đơn giản hóa các biểu thức lượng giác sau bằng cách áp dụng các công thức góc phụ và hằng đẳng thức đáng nhớ của lượng giác.
Bài 2 (3 điểm): Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Vẽ HM vuông góc AB và HN vuông góc AC. Cho $AB = 3cm, AC = 4cm$. a) Tính các đoạn thẳng BC, BH, CH, MN. b) Xác định số đo các góc trong tam giác AMN. c) Tính diện tích của tứ giác BMNC.
Bài 3 (1 điểm): Chứng minh một hệ thức liên quan đến tỉ số lượng giác của góc chia đôi trong tam giác vuông:
Hướng dẫn giải chi tiết Đề 3
Phần trắc nghiệm có đáp án là: 1-D, 2-A, 3-C, 4-B, 5-C, 6-A. Các câu hỏi này kiểm tra rất kỹ khả năng nhớ công thức và phản xạ tính nhanh của học sinh.
Trong phần tự luận, bài toán về tứ giác AMHN là một dạng bài điển hình. Việc nhận ra AMHN là hình chữ nhật sẽ giúp các em chứng minh $MN = AH$ một cách nhanh chóng.
Sơ đồ hình vẽ cho tam giác vuông với các đường cao HM và HN
Các góc của tam giác AMN có thể được tính thông qua sự đồng dạng hoặc dựa trên các góc của tam giác lớn ABC ban đầu:
Tính toán số đo các góc dựa trên mối quan hệ phụ nhau
Diện tích tứ giác BMNC thường được tính bằng cách lấy diện tích tam giác lớn ABC trừ đi diện tích tam giác nhỏ AMN. Đây là phương pháp tối ưu nhất để tránh các tính toán phức tạp:
Biểu thức tính diện tích tứ giác bằng hiệu hai diện tích tam giác
Đối với bài chứng minh nâng cao cuối cùng, việc vẽ thêm đường phụ (đường phân giác) là kỹ thuật quan trọng giúp xuất hiện các tỉ số cần thiết:
Hình vẽ bổ sung đường phân giác BD để giải bài chứng minh
Sau khi thiết lập được các tỉ lệ thức từ tính chất đường phân giác, chúng ta sẽ thu được đẳng thức cần chứng minh một cách logic:
Kết quả chứng minh cuối cùng cho hệ thức lượng giác
Tổng kết lại, việc luyện tập thường xuyên với các bộ đề kiểm tra 1 tiết toán 9 chương 1 hình học sẽ giúp các em tự tin hơn khi đối mặt với các kỳ thi thực tế. Hãy chú ý ghi nhớ các công thức lượng giác cơ bản và rèn luyện kỹ năng vẽ hình chính xác để đạt điểm số tối đa. Chúc các em ôn tập hiệu quả và đạt kết quả cao trong học tập!
