Bài toán yêu cầu tìm diện tích ban đầu của một hình chữ nhật khi biết chu vi của nó và sự thay đổi diện tích khi chiều rộng và chiều dài được tăng thêm. Đây là một dạng bài toán hình học cơ bản, thường gặp trong chương trình Toán học phổ thông, đòi hỏi kỹ năng lập phương trình và giải hệ phương trình.
Phân tích đề bài
Để giải bài toán này, chúng ta cần xác định các đại lượng đã biết và đại lượng cần tìm.
- Đã biết:
- Chu vi hình chữ nhật ban đầu: 100m.
- Mức tăng chiều rộng: 5m.
- Mức tăng chiều dài: 10m.
- Mức tăng diện tích: 400m².
- Cần tìm: Diện tích hình chữ nhật ban đầu.
Chúng ta sẽ sử dụng các biến để biểu diễn các đại lượng chưa biết:
- Gọi x (m) là chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật.
- Gọi y (m) là chiều dài ban đầu của hình chữ nhật.
Từ các thông tin đã cho, ta có thể lập các phương trình liên quan:
Bảng phân tích các đại lượng:
| Đại lượng | Chiều rộng (m) | Chiều dài (m) | Diện tích (m²) |
|---|---|---|---|
| Ban đầu | x | y | xy |
| Lúc sau | x + 5 | y + 10 | (x + 5)(y + 10) |
Từ bảng trên, ta rút ra các phương trình:
-
Phương trình liên quan đến chu vi: Chu vi của hình chữ nhật được tính bằng công thức
2 * (chiều rộng + chiều dài). Theo đề bài, chu vi là 100m, nên ta có:
2(x + y) = 100
Rút gọn, ta được:
x + y = 50(1) -
Phương trình liên quan đến diện tích: Diện tích lúc sau tăng thêm 400m² so với diện tích ban đầu. Do đó:
(x + 5)(y + 10) - xy = 400
Khai triển phương trình này:
xy + 10x + 5y + 50 - xy = 400
10x + 5y + 50 = 400
10x + 5y = 350
Rút gọn, ta được:
2x + y = 70(2)
Giải chi tiết bài toán
Bây giờ, chúng ta cần giải hệ hai phương trình bậc nhất hai ẩn x và y đã lập được ở trên:
Hệ phương trình:
$$ begin{cases} x + y = 50 2x + y = 70 end{cases} $$
Chúng ta có thể giải hệ này bằng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số. Ở đây, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp trừ hai phương trình để loại bỏ biến y:
Lấy phương trình (2) trừ đi phương trình (1):
(2x + y) - (x + y) = 70 - 50
2x + y - x - y = 20
x = 20
Sau khi tìm được giá trị của x, chúng ta thay x = 20 vào phương trình (1) để tìm y:
20 + y = 50
y = 50 - 20
y = 30
Vậy, chiều rộng ban đầu của hình chữ nhật là 20m và chiều dài ban đầu là 30m.
Tính diện tích hình chữ nhật ban đầu
Diện tích ban đầu của hình chữ nhật được tính bằng công thức: Diện tích = chiều rộng * chiều dài.
S = x * y
S = 20m * 30m
S = 600 m²
Kết luận
Dựa trên các phân tích và giải pháp chi tiết, diện tích ban đầu của hình chữ nhật là 600 m². Bài toán này minh họa cách áp dụng kiến thức đại số vào giải quyết các vấn đề hình học thực tế, rèn luyện tư duy logic và kỹ năng giải toán cho học sinh.
