Trong chương trình Vật Lý lớp 12, việc nắm vững cách viết phương trình sóng là một yếu tố quan trọng để giải quyết các bài tập liên quan đến sóng cơ học. Bài viết này sẽ cung cấp phương pháp giải chi tiết cùng các ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm, giúp học sinh củng cố kiến thức và tự tin chinh phục dạng bài này.
TÓM TẮT
I. Phương Pháp và Ví Dụ Minh Họa
1. Phương Pháp Viết Phương Trình Sóng
Để viết phương trình sóng, chúng ta cần dựa vào phương trình sóng tại nguồn phát. Nếu phương trình sóng tại nguồn O có dạng:
$u_O = Acos(omega t + phi)$
-
Khi sóng truyền theo chiều dương của trục Ox:
Phương trình sóng tại một điểm M cách nguồn O một khoảng $x$ sẽ là:
$u_M = Acos(omega t – frac{omega x}{v} + phi)$
Hoặc có thể viết dưới dạng:
$u_M = Acos(omega (t – frac{x}{v}) + phi)$ -
Khi sóng truyền theo chiều âm của trục Ox:
Phương trình sóng tại một điểm M cách nguồn O một khoảng $x$ sẽ là:
$u_M = Acos(omega t + frac{omega x}{v} + phi)$
Hoặc có thể viết dưới dạng:
$u_M = Acos(omega (t + frac{x}{v}) + phi)$
Lưu ý quan trọng: Đảm bảo rằng các đơn vị của khoảng cách ($x$, $x_1$, $x_2$, $l$) và vận tốc ($v$) phải tương ứng với nhau để phép tính chính xác.
2. Ví Dụ Minh Họa
Ví dụ 1:
Một sóng ngang truyền từ điểm M đến O rồi đến N trên cùng một phương truyền sóng với vận tốc $v = 18 , m/s$. Biết $MN = 3 , m$ và $MO = ON$. Phương trình sóng tại O là $u_O = 5cos(4pi t – frac{pi}{6}) , (cm)$. Hãy viết phương trình sóng tại M và tại N.
Lời giải:
Vì $MO = ON$ và $MN = 3 , m$, ta suy ra $MO = ON = frac{MN}{2} = 1,5 , m$.
Nguồn sóng là O. M nằm trước O theo chiều truyền sóng, N nằm sau O theo chiều truyền sóng.
-
Phương trình sóng tại M:
M cách O một khoảng $x = 1,5 , m$. Vì M nằm trước nguồn O theo chiều truyền sóng, ta có công thức:
$u_M = uO|{t rightarrow t + Delta t}$
Trong đó $Delta t = frac{x}{v} = frac{1,5}{18} = frac{1}{12} , s$.
$u_M = 5cos(4pi (t + frac{1}{12}) – frac{pi}{6}) = 5cos(4pi t + frac{pi}{3} – frac{pi}{6}) = 5cos(4pi t + frac{pi}{6}) , (cm)$. -
Phương trình sóng tại N:
N cách O một khoảng $x = 1,5 , m$. Vì N nằm sau nguồn O theo chiều truyền sóng, ta có công thức:
$u_N = 5cos(4pi t – frac{omega x}{v} – frac{pi}{6}) = 5cos(4pi t – frac{4pi times 1,5}{18} – frac{pi}{6})$
$u_N = 5cos(4pi t – frac{6pi}{18} – frac{pi}{6}) = 5cos(4pi t – frac{pi}{3} – frac{pi}{6}) = 5cos(4pi t – frac{pi}{2}) , (cm)$.
Quá trình tính toán phương trình sóng tại M và N.
Ví dụ 2:
Một sóng truyền trong một môi trường với phương trình dao động của các điểm có dạng: $u = 4cos(frac{pi t}{3} + phi) , cm$. Bước sóng $lambda = 240 , cm$.
- Tìm độ lệch pha dao động của hai điểm cách nhau $210 , cm$ theo phương truyền vào cùng một thời điểm.
- Một điểm M ở thời điểm $t$ có li độ là $3 , cm$. Tìm li độ của nó sau đó $12 , s$.
- Điểm N cách O $72,5 , m$. Trong đoạn NO có bao nhiêu điểm dao động cùng pha với nguồn?
Lời giải:
Ta có $lambda = 240 , cm = 2,4 , m$ và $omega = frac{pi}{3} , rad/s$.
-
Độ lệch pha:
Độ lệch pha giữa hai điểm cách nhau một khoảng $Delta x$ là $Delta phi = frac{2pi Delta x}{lambda}$.
Với $Delta x = 210 , cm = 2,1 , m$, ta có:
$Delta phi = frac{2pi times 2,1}{2,4} = frac{4,2pi}{2,4} = 1,75pi , rad$. -
Li độ tại thời điểm sau 12s:
Khoảng thời gian $12 , s$ tương ứng với số chu kì $n = frac{t}{T}$. Chu kì $T = frac{2pi}{omega} = frac{2pi}{pi/3} = 6 , s$.
Vậy $n = frac{12}{6} = 2$ chu kì.
Sau mỗi chu kì, dao động của điểm đó lặp lại y hệt. Do đó, sau 12 giây (2 chu kì), li độ của điểm M vẫn là $3 , cm$. -
Số điểm dao động cùng pha với nguồn:
Điểm N cách nguồn O một khoảng $d = 72,5 , m$. Số điểm dao động cùng pha với nguồn trên đoạn ON là số nguyên $k$ thỏa mãn:
$d = klambda implies 72,5 = k times 2,4$
$k = frac{72,5}{2,4} approx 30,2$.
Vì $k$ phải là số nguyên, nên có $30$ điểm dao động cùng pha với nguồn trên đoạn ON (không tính điểm O).
Phân tích và giải các phần của Ví dụ 2.
II. Bài Tập Trắc Nghiệm
Dưới đây là một số bài tập trắc nghiệm giúp bạn luyện tập và củng cố kiến thức về phương trình sóng.
Câu 1. Một sóng cơ truyền dọc theo trục Ox có phương trình là $u = 5cos(6pi t – pi x) , (cm)$, với $t$ đo bằng s, $x$ đo bằng m. Tốc độ truyền sóng này là:
A. 3 m/s.
B. 60 m/s.
C. 6 m/s.
D. 30 m/s.
Lời giải:
Chọn C.
Ta có $omega = 6pi , rad/s$ và $k = pi , m^{-1}$.
Tốc độ truyền sóng $v = frac{omega}{k} = frac{6pi}{pi} = 6 , m/s$.
Câu 2. Một sóng cơ có tần số 50 Hz truyền theo phương Ox có tốc độ 30 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên phương Ox dao động lệch pha nhau $frac{pi}{3}$ bằng:
A. 10 cm.
B. 20 cm.
C. 5 cm.
D. 60 cm.
Lời giải:
Chọn A.
Bước sóng $lambda = frac{v}{f} = frac{30}{50} = 0,6 , m = 60 , cm$.
Độ lệch pha $Delta phi = frac{2pi Delta x}{lambda}$.
Ta có $frac{pi}{3} = frac{2pi Delta x}{60} implies Delta x = frac{60}{6} = 10 , cm$.
Câu 3. Ở một mặt nước (đủ rộng), tại điểm O có một nguồn sóng dao động theo phương thẳng đứng với phương trình $u_O = 4cos(20pi t) , (u , text{cm}, t , text{s})$. Tốc độ truyền sóng trên mặt nước là 40 m/s, coi biên độ sóng không đổi khi sóng truyền đi. Phương trình dao động của phần tử nước tại điểm M (ở mặt nước), cách O một khoảng 50 cm là:
A. $u_M = 4cos(20pi t + frac{pi}{2}) , (cm)$.
B. $u_M = 4cos(20pi t – frac{pi}{4}) , (cm)$.
C. $u_M = 4cos(20pi t – frac{pi}{2}) , (cm)$.
D. $u_M = 4cos(20pi t + frac{pi}{4}) , (cm)$.
Lời giải:
Chọn B.
Tần số góc $omega = 20pi , rad/s$.
Bước sóng $lambda = frac{v}{omega / 2pi} = frac{40}{20pi / 2pi} = frac{40}{10} = 4 , m = 400 , cm$.
Khoảng cách từ O đến M là $d = 50 , cm$.
Độ lệch pha giữa O và M là $Delta phi = frac{2pi d}{lambda} = frac{2pi times 50}{400} = frac{100pi}{400} = frac{pi}{4} , rad$.
Vì M ở sau O theo chiều truyền sóng, phương trình sóng tại M là:
$u_M = 4cos(20pi t – frac{pi}{4}) , (cm)$.
Câu 4. Một sóng cơ có chu kì 2 s truyền với tốc độ 1 m/s. Khoảng cách giữa hai điểm gần nhau nhất trên một phương truyền sóng mà tại đó các phần tử môi trường dao động ngược pha nhau là:
A. 0,5 m.
B. 1,0 m.
C. 2,0 m.
D. 2,5 m.
Lời giải:
Chọn B.
Bước sóng $lambda = vT = 1 times 2 = 2 , m$.
Hai điểm dao động ngược pha nhau gần nhau nhất cách nhau một khoảng bằng $frac{lambda}{2}$.
Vậy khoảng cách là $frac{2}{2} = 1 , m$.
Câu 5. Trên một phương truyền sóng có hai điểm M và N cách nhau 80 cm. Sóng truyền theo chiều từ M đến N với bước sóng là 1,6 m. Coi biên độ của sóng không đổi trong quá trình truyền sóng. Phương trình sóng tại N là $u_N = 0,08 cos(frac{pi(t – 4)}{2}) , (m)$ thì phương trình sóng tại M là:
A. $u_M = 0,08 cos(frac{pi(t + 4)}{2}) , (m)$.
B. $u_M = 0,08 cos(frac{pi(t + 0,5)}{2}) , (m)$.
C. $u_M = 0,08 cos(frac{pi(t – 1)}{2}) , (m)$.
D. $u_M = 0,08 cos(frac{pi(t – 2)}{2}) , (m)$.
Lời giải:
Chọn D.
Ta có $lambda = 1,6 , m$. Khoảng cách $MN = 80 , cm = 0,8 , m$.
Phương trình sóng tại N: $u_N = 0,08 cos(frac{pi t}{2} – 2pi) , (m) = 0,08 cos(frac{pi t}{2}) , (m)$.
Vì sóng truyền từ M đến N, nên M ở phía trước N theo chiều truyền sóng. Khoảng cách $MN = 0,8 , m$.
Độ lệch pha giữa M và N là $Delta phi = frac{2pi MN}{lambda} = frac{2pi times 0,8}{1,6} = pi , rad$.
Do M ở trước N, nên pha của M sớm hơn pha của N một góc $pi$.
$u_M = 0,08 cos(frac{pi t}{2} + pi) , (m) = 0,08 cos(frac{pi(t+2)}{2}) , (m)$.
Tuy nhiên, đề bài cho $u_N = 0,08 cos(frac{pi(t – 4)}{2}) , (m)$. Ta có thể viết lại như sau:
$u_N = 0,08 cos(frac{pi t}{2} – 2pi) = 0,08 cos(frac{pi t}{2})$.
Nếu sóng truyền từ M đến N, thì $u_M$ sẽ có pha sớm hơn $u_N$.
$u_M = 0,08 cos(frac{pi t}{2} + Delta phi) = 0,08 cos(frac{pi t}{2} + pi) = 0,08 cos(frac{pi(t+2)}{2})$.
Tuy nhiên, xem xét phương trình $u_N = 0,08 cos(frac{pi(t – 4)}{2})$ có thể hiểu là pha của N phụ thuộc vào thời điểm $t$.
Ta có thể xem xét mối quan hệ pha giữa hai điểm. Điểm M dao động sớm pha hơn điểm N một góc $Deltaphi = frac{2pi d}{lambda} = frac{2pi(0.8)}{1.6} = pi$.
Do đó, $u_M(t) = u_N(t + Delta t)$ với $Delta t = frac{Deltaphi}{omega} = frac{pi}{pi/2} = 2s$.
Vậy $u_M(t) = u_N(t+2) = 0,08 cos(frac{pi((t+2) – 4)}{2}) = 0,08 cos(frac{pi(t-2)}{2})$.
Câu 6. Một sóng ngang truyền trên sợi dây rất dài với tốc độ truyền sóng là 4 m/s và tần số sóng có giá trị từ 33 Hz đến 43 Hz. Biết hai phần tử tại hai điểm trên dây cách nhau 25 cm luôn dao động ngược pha nhau. Tần số sóng trên dây là:
A. 42 Hz.
B. 35 Hz.
C. 40 Hz.
D. 37 Hz.
Lời giải:
Chọn C.
Hai điểm dao động ngược pha nhau cách nhau một khoảng $d = (2n+1)frac{lambda}{2}$.
$lambda = frac{v}{f}$.
$d = (2n+1)frac{v}{2f}$.
$25 times 10^{-2} = (2n+1)frac{4}{2f} = (2n+1)frac{2}{f}$.
$f = frac{(2n+1)2}{0,25} = 8(2n+1)$.
Với $33 le f le 43$, ta thử các giá trị nguyên của $n$:
Nếu $n=1$, $f = 8(2(1)+1) = 8 times 3 = 24$ (loại).
Nếu $n=2$, $f = 8(2(2)+1) = 8 times 5 = 40 , Hz$ (thỏa mãn).
Nếu $n=3$, $f = 8(2(3)+1) = 8 times 7 = 56$ (loại).
Câu 7. Một sóng hình sin truyền theo chiều dương của trục Ox với phương trình dao động của nguồn sóng (đặt tại O) là $u_O = 4cos(100pi t) , (cm)$. Ở điểm M (theo hướng Ox) cách O một phần tư bước sóng, phần tử môi trường dao động với phương trình là:
A. $u_M = 4cos(100pi t + pi) , (cm)$.
B. $u_M = 4cos(100pi t) , (cm)$.
C. $u_M = 4cos(100pi t – 0,5pi) , (cm)$.
D. $u_M = 4cos(100pi t + 0,5pi) , (cm)$.
Lời giải:
Chọn C.
Nguồn sóng tại O có $u_O = 4cos(100pi t) , (cm)$.
Điểm M cách O một phần tư bước sóng, tức là $d = frac{lambda}{4}$.
Độ lệch pha giữa M và O là $Delta phi = frac{2pi d}{lambda} = frac{2pi (lambda/4)}{lambda} = frac{pi}{2} , rad$.
Vì sóng truyền theo chiều dương của trục Ox, M nằm sau O. Do đó, pha của M trễ hơn pha của O một góc $frac{pi}{2}$.
$u_M = 4cos(100pi t – frac{pi}{2}) , (cm)$.
Câu 8. Một sóng cơ truyền dọc theo truc Ox với phương trình $u = 5cos(8pi t – 0,04pi x) , (u, x , text{cm}, t , text{s})$. Tại thời điểm $t = 3 , s$, ở điểm có $x = 25 , cm$, phần tử sóng có li độ là:
A. 5,0 cm.
B. -5,0 cm.
C. 2,5 cm.
D. -2,5 cm.
Lời giải:
Chọn B.
Thay $t = 3 , s$ và $x = 25 , cm$ vào phương trình sóng:
$u = 5cos(8pi times 3 – 0,04pi times 25)$
$u = 5cos(24pi – pi)$
$u = 5cos(23pi)$
$u = 5 times (-1) = -5 , cm$.
Câu 9. Một sóng âm truyền trong thép với tốc độ 5000 m/s. Nếu độ lệch pha của sóng âm đó ở hai điểm gần nhau nhất cách nhau 1 m trên cùng một phương truyền sóng là $frac{pi}{2}$ thì tần số của sóng bằng:
A. 1000 Hz.
B. 2500 Hz.
C. 5000 Hz.
D. 1250 Hz.
Lời giải:
Chọn D.
Hai điểm gần nhau nhất cách nhau $1 , m$ có độ lệch pha $frac{pi}{2}$. Điều này không đúng với định nghĩa hai điểm gần nhau nhất có độ lệch pha $frac{pi}{2}$. Hai điểm gần nhau nhất có độ lệch pha $frac{pi}{2}$ là khi $Delta x = frac{lambda}{4}$.
Ở đây, đề bài nói “hai điểm gần nhau nhất cách nhau 1 m trên cùng một phương truyền sóng là $frac{pi}{2}$”. Điều này có thể hiểu là khoảng cách 1m ứng với độ lệch pha $frac{pi}{2}$.
Độ lệch pha $Delta phi = frac{2pi Delta x}{lambda}$.
$frac{pi}{2} = frac{2pi times 1}{lambda} implies lambda = 4 , m$.
Tần số $f = frac{v}{lambda} = frac{5000}{4} = 1250 , Hz$.
Câu 10. Một nguồn phát sóng dao động điều hòa tạo ra sóng trên phương trình $u = Acos(20pi t) , cm$ với $t$ tính bằng giây. Trong khoảng thời gian 2s, sóng này truyền đi được quãng đường bằng bao nhiêu lần bước sóng?
A. 20.
B. 40.
C. 10.
D. 30.
Lời giải:
Chọn B.
Tần số góc $omega = 20pi , rad/s$.
Tần số $f = frac{omega}{2pi} = frac{20pi}{2pi} = 10 , Hz$.
Chu kì $T = frac{1}{f} = frac{1}{10} = 0,1 , s$.
Trong khoảng thời gian $2 , s$, số chu kì sóng đi qua là $n = frac{2}{T} = frac{2}{0,1} = 20$ chu kì.
Mỗi chu kì, sóng truyền đi được một quãng đường bằng một bước sóng ($lambda$).
Do đó, trong 2 giây, sóng truyền đi được quãng đường bằng $20lambda$.
III. Bài Tập Bổ Sung
Dưới đây là một số bài tập bổ sung để bạn rèn luyện thêm kỹ năng giải bài tập về phương trình sóng.
Câu 1: Một sợi dây đàn hồi nằm ngang có điểm đầu O dao động theo phương đứng với biên độ A = 5cm, T = 0,5s. Vận tốc truyền sóng là 40cm/s. Viết phương trình sóng tại M cách Od = 50 cm.
A. $u_M = 5cos(4pi t – 5pi)cm$
B. $u_M = 5cos(4pi t – 2,5pi)cm$
C. $u_M = 5cos(4pi t – pi)cm$
D. $u_M = 5cos(4pi t – 25pi)cm$
Câu 2: Một sóng cơ học truyền theo phương Ox với biên độ coi như không đổi. Tại O, dao động có dạng $u = Acos(omega t) , (cm)$. Tại thời điểm M cách xa tâm dao động O là 13 bước sóng ở thời điểm bằng 0,5 chu kì thì li độ sóng có giá trị là 5 cm. Phương trình dao động ở M thỏa mãn hệ thức nào sau đây:
A. $u_M = Acos(omega t) – frac{2lambda}{3}cm$
B. $u_M = Acos(omega t) – frac{pilambda}{3}cm$
C. $u_M = Acos(omega t) – frac{2pi}{3}cm$
D. $u_M = Acos(omega t) – frac{pi}{3}cm$
Câu 3: Một nguồn O phát sóng cơ dao động theo phương trình $u_O=2cos(20pi t+frac{pi}{3})$ (trong đó u tính bằng đơn vị mm, t tính bằng đơn vị s). Xét sóng truyền theo một đường thẳng từ O đến điểm M (M cách O một khoảng 45 cm) với tốc độ không đổi 1 m/s. Trong khoảng từ O đến M có bao nhiêu điểm dao động cùng pha với dao động tại nguồn O?
A. 4.
B. 3.
C. 2.
D. 5.
Câu 4: Một nguồn O phát sóng cơ dao động theo phương trình $u_O=2cos(20pi t+frac{pi}{3})$ (trong đó u tính bằng đơn vị mm, t tính bằng đơn vị s). Xét trên một phương truyền sóng từ O đến điểm M rồi đến điểm N với tốc độ 1 m/s. Biết OM = 10cm và ON = 55 cm. Trong đoạn MN có bao nhiêu điểm dao động vuông pha với dao động tại nguồn O?
A. 10.
B. 8.
C. 9.
D. 5.
Câu 5: Một sóng cơ lan truyền trên một đường thẳng từ điểm O đến điểm M cách O một đoạn d. Biết tần số f, bước sóng $lambda$ và biên độ a của sóng không đổi trong quá trình sóng truyền. Nếu phương trình dao động của phần tử vật chất tại điểm M có dạng $u_M(t) = acos(2pi ft)$ thì phương trình dao động của phần tử vật chất tại O là:
A. $u_0(t)=acos(2pi f frac{t}{t} – frac{d}{lambda})$
B. $u_0(t)=acos(2pi f t + frac{d}{lambda})$
C. $u_0(t)=acos(2pi f t – frac{d}{lambda})$
D. $u_0(t)=acos(2pi f t + frac{d}{lambda})$
Câu 6: Sóng truyền với tốc độ 6 m/s từ điểm O đến điểm M nằm trên cùng một phương truyền sóng cách nhau 3,4 m. Coi biên độ sóng không đổi. Viết phương trình sóng tại M, biết phương trình sóng tại điểm O: $u=4cos(5pi t+frac{pi}{6})cm$
A. $u_M=5cos(5pi t+frac{17pi}{6})cm$.
B. $u_M=5cos(5pi t+frac{4pi}{3})cm$.
C. $u_M=5cos(5pi t-frac{8pi}{3})cm$.
D. $u_M=5cos(5pi t-frac{2pi}{3})cm$.
Câu 7: Tạo sóng ngang trên một dây đàn hồi Ox. Một điểm M cách nguồn phát sóng O một khoảng d = 50 cm có phương trình dao động $u_M=2cos(0,5pi t-frac{pi}{20})$ (cm), tốc độ truyền sóng trên dây là 10 m/s. Phương trình dao động của nguồn O là:
A. $u=2sin(0,5pi t+frac{pi}{20})(cm)$.
B. $u=2cos(0,5pi t-frac{pi}{20}-frac{pi}{10})(cm)$.
C. $u=2cos(0,5pi t-frac{pi}{20}+frac{pi}{10})(cm)$.
D. $u=2cos(0,5pi t)(cm)$.
Câu 8: Tại điểm M cách một nguồn sóng một khoảng x có phương trình dao động sóng M là $u_M=4cos(200pi t-frac{2pi x}{lambda})$ (cm). Tần số của dao động sóng bằng
A. f = 0,01 Hz
B. f = 200 Hz
C. f = 100 Hz
D. f = 200π Hz
Câu 9: Một sóng cơ học truyền trong một trường đàn hồi. Phương trình dao động của nguồn có dạng $x = 4cos(frac{pi}{3}t)cm$. Cho biết vận tốc truyền sóng v = 40 (cm/s) Tính độ lệch pha của hai điểm cách nhau một khoảng 40 (cm) trên cùng phương truyền sóng và tại cùng thời điểm.
A. $frac{pi}{3}$
B. $frac{pi}{6}$
C. $frac{pi}{2}$
D. $pi$
Tài liệu tham khảo
- Bộ giáo án, đề thi tốt nghiệp THPT, DGNL các trường có lời giải chi tiết 2025 tại https://tailieugiaovien.com.vn/
- VietJack Official trên Zalo: VietJack Official
- Tổng đài hỗ trợ đăng ký: 084 283 45 85
Hãy tải ngay ứng dụng VietJack trên Android và iOS để giải bài tập SGK, SBT, soạn văn, thi online và xem bài giảng miễn phí. Theo dõi chúng tôi trên Facebook và YouTube để cập nhật thêm nhiều kiến thức bổ ích.
